線性代數(shù)3.1矩陣的特征值和特征向量

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1、矩陣的秩例如:對于方陣,矩陣在初等變矩陣的秩可以反映矩陣的可逆性、換下可化成怎樣的標(biāo)準(zhǔn)形式、線性方程組是否有解、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有幾個解向量等.還有“特征值”.能反映矩陣的許多特性.除“秩”外,Ch3矩陣的特征值和特征向量在矩陣求逆、矩陣運算中,掌握矩陣的特征值、特征向量和相似矩陣?yán)碚撌侵匾头奖愕摹K鼈冊诤芏喾矫娑加袕V泛應(yīng)用。§3.1矩陣的特征值和特征向量在經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析模型中,經(jīng)常遇到矩陣特征值和特征向量問題。引言例如例1定量分析污染與工業(yè)發(fā)揮水平的關(guān)系模型:,設(shè)是某地區(qū)目前的污染水平,是目前的工業(yè)發(fā)展水平。若干年后的污染述評和工業(yè)發(fā)展水平分別為,它們

2、之間具有關(guān)系或記有當(dāng)有,,,。,由此,可預(yù)測出污染水平和工業(yè)發(fā)展水平的狀態(tài)具有倍數(shù)關(guān)系。這是所謂矩陣特征值與特征向量問題。。下面給出特征值與特征向量概念,除特別聲明,均在實數(shù)域上討論矩陣特征值與特征向量問題。時一、矩陣的特征值、特征向量概念定義3.1設(shè)是階矩陣,如果存在一個數(shù),相應(yīng)地有非零向量,使得(3.1.1),那么就稱是矩陣的一個特征值,稱為的一個特征向量.的屬于特征值注1)矩陣的特征值、特征向量有兩個前提條件:(1)特征值是一個數(shù);(2)特征向量是非零向量,且滿足;(3)對任何數(shù),有,但0不是的特征向量,也不能說不是的特征值.注2)特征值與特征向量是相互聯(lián)系的兩個概念

3、,即有特征值一定有相應(yīng)的特征向量,有特征向量一定有相應(yīng)的特征值.注3)等式刻劃特征向量的特性:對作用只發(fā)生數(shù)量倍的變化.對于普通的幾何空間而言,上述特性有明顯的幾何意義:與共線.一般地,向量經(jīng)過線性變換后,表明是共線的。注4)對給定矩陣,并不是隨便那個數(shù)都是它的特征值的。二、特征值、特征向量的求法、特征多項式設(shè)矩陣有一個特征值,是的屬于特征值的特征向量,則,于是有.這表明是齊次線性方程組(3.1.2)的一個非零解(向量)。因而由齊次線性方程組理論,于是其系數(shù)矩陣的行列式。設(shè)為階矩陣,命題是矩陣一個特征值充分必要條件是為以為變量的一元次代數(shù)方程(3.1.3)的根。稱為A的特征

4、矩陣,其行列式定義3.2含有未知數(shù)的矩陣稱為矩陣的特征多項式,記作.稱為矩陣的特征方程。是A的屬于特征值的特征向量的充分必要條件是為特征方程的根,設(shè)為階矩陣,代數(shù)方程(證明略)定理3.1則是A的特征值,是齊次線性方程組的非零解(向量)。注1)的特征多項式是一個次且首項系數(shù)是1;多項式,注2)如果是A的特征值,常常稱為A的特征根;注3)根據(jù)定理3.1和齊次方程組理論,可以得到推論1如果是A的屬于特征值的特征向量,則對任意常數(shù),也是A的屬于特征值的特征向量。且,則推論2如果都是A的屬于特征值的特征向量,也是A的屬于特征值的特征向量。為數(shù)值。推論3如果都是A的屬于特征值的特征向量

5、,則也是A的屬于特征值的特征向量,其中(它就是的屬于特征值的全部特征值、特征向量的求法注4)第一步對給定下的矩陣,計算特征多項式;第二步求出特征方程中的全部根(即的全部特征值,其中可能有重根或成對出現(xiàn)、重數(shù)相同的復(fù)數(shù)根);第三步對每一個特征值,求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系的極大無關(guān)的特征向量組),由此可求出的屬于的全部特征向量,其中為數(shù)值.例2.求矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量.解:矩陣的特征多項式為因此由可得的全部特征值為.即求解對于,解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系,,這里為任意常數(shù)。于是的屬于的全部特征向量為即求解對于,解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系,這里為任

6、意常數(shù)。于是的屬于的全部特征向量為,例3.求矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量.解:矩陣的特征多項式為因此沒有實數(shù)解,在實數(shù)域上無特征值,但在復(fù)數(shù)域上,可得的全部特征值為解齊次線性方程組,對于,即求解得到一個基礎(chǔ)解系,全部特征向量為,解齊次線性方程組,對于,的于是的屬于的全部特征向量為,這里為任意常數(shù)。即求解得到一個基礎(chǔ)解系,于是的屬于這里為任意常數(shù)。特征值與討論數(shù)域有關(guān),如果限制在實數(shù)域上,矩陣的特征值可能不存在或者不夠多。注5)本例表明,對于給定的實數(shù)矩陣,其特征值可能不是實數(shù),這時它的所有特征值全為復(fù)數(shù)。對于,例4.求矩陣特征值和相應(yīng)的特征向量.解:矩陣的特征多項式為因此由

7、可得的全部特征值為(二重根),.即求解解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系,于是的屬于的全部特征向量為這里為不全為零的任意常數(shù)。即求解對于,解齊次線性方程組,于是的屬于的全部特征向量為得到一個基礎(chǔ)解系,這里,為任意常數(shù)。求矩陣特征值和相應(yīng)的特征向量.例5.解:矩陣的特征多項式為(二重根),.因此由可得的全部特征值為即求解對于,解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系解齊次線性方程組,的屬于的全部為非零任意常數(shù)。于是特征向量為,這里即求解對于,,于是的屬于得到一個基礎(chǔ)解系,的全部特征向量為,為任意常數(shù)。這里對于給定的階矩陣A

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