素?cái)?shù)分布基本定理

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1、素?cái)?shù)分布基本定理作者姓名：彎國強(qiáng)作者地址：漯河市舞陽縣蓮花鎮(zhèn)第二初級中學(xué)E-mail：632158@163.com我們可以把自然數(shù)列按照某個(gè)自然數(shù)分段，并把這個(gè)分段記為T，表示第r個(gè)分段。例如：按照自然數(shù)3分段，就是每隔3個(gè)數(shù)分一段。1，2，3；4，5，6；7，8，9；…………第1段為1，2，3記為，……第r段記為按照自然數(shù)5分段，就是每隔5個(gè)數(shù)分一段。1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；…………第1段為1，2，3，4，5記為，……第r段記為我們把第1分段中的全

2、部質(zhì)數(shù)叫基質(zhì)數(shù)。例如中的基質(zhì)數(shù)為2，3中的基質(zhì)數(shù)為2，3，5定理：1設(shè)T是自然數(shù)的任一分段，在內(nèi)，分段中基質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)不大于分段中基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。證明：設(shè)，是中的基質(zhì)數(shù)。集合，，那么由容斥定理我們可以得到，A中元素的個(gè)數(shù)為集合，，設(shè)B中元素的個(gè)數(shù)為SB中元素的個(gè)數(shù)最多為當(dāng)時(shí)，由于是不超過n的所有質(zhì)數(shù)，所以n至少能被之一整除，否則n為質(zhì)數(shù)，這與是n中最大的質(zhì)數(shù)矛盾。當(dāng)時(shí)，。故n至少能被之一整除。不妨設(shè)，存在正整數(shù)q使那么中有q個(gè)的倍數(shù)。我們按正整數(shù)把正整數(shù)分段，可以把中的數(shù)剛好分為q段。以此類

3、推可以得到中的數(shù)剛好也可以分為q段，每一段末尾的數(shù)剛好就是的倍數(shù)。這就是說中的倍數(shù)正好就是q個(gè)。即中的倍數(shù)正好就是個(gè)。不必加1.對于其它質(zhì)數(shù)，中的基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)最多，那么倍數(shù)的個(gè)數(shù)最多為，因此根據(jù)組合公式就是從m個(gè)質(zhì)數(shù)中任意取一個(gè)，又因?yàn)閯偤每赡苷齨，所以n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，剛好有個(gè)數(shù)能被整除，不再加1，故可以得公式。同理，可以得到中的基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)最多為：又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗约矗悍侄沃谢|(zhì)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)不大于分段中基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。素?cái)?shù)分布基本定理：2把自然數(shù)列1,2,3......按順序每n個(gè)數(shù)

4、分一段，是不超過n的所有質(zhì)數(shù)，那么在內(nèi)，每一段數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)不能被整除。也就是說在內(nèi)，每一段數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)。證明：根據(jù)定理1，我們知道分段中基質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)不大于分段中基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。也就是說第一個(gè)分段中，的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是最多的，但是至少有一個(gè)數(shù)不是的倍數(shù)，那就是1.因此，每個(gè)分段中至少有一個(gè)數(shù)不是倍數(shù)。也就是每一段數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)不能被整除。再根據(jù)素?cái)?shù)的判定，在內(nèi)，不能被整除，這個(gè)數(shù)就是素?cái)?shù)。故每一段數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)。這個(gè)定理非常重要，它對于一些重要的有關(guān)素?cái)?shù)分布的猜想的證明給

5、出了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)。它是素?cái)?shù)分布的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理的證明直接導(dǎo)至了一些重要的著名的數(shù)論問題的解決。定理：3設(shè)T是自然數(shù)的任一分段，，質(zhì)數(shù)中的最大質(zhì)數(shù)，若，那么中至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。證明：設(shè)，因?yàn)樗允侵械幕|(zhì)數(shù)的一部分。集合，，那么由容斥定理我們可以得到，A中元素的個(gè)數(shù)為集合，，設(shè)B中元素的個(gè)數(shù)為S根據(jù)定理1可以知道，所以，所以，，這就說明在中至少有一個(gè)數(shù)不能同時(shí)被整除，根據(jù)質(zhì)數(shù)的判定定理，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)中的最大質(zhì)數(shù)，即是的前部質(zhì)數(shù)，不能被整除的數(shù)必為質(zhì)數(shù)。定理：4已知：，m為整數(shù)，質(zhì)數(shù)p為不超過m

6、的最大素?cái)?shù)。求證：證明：設(shè)是2m的前部質(zhì)數(shù)，即是不超過的質(zhì)數(shù)，且是不超過的最大質(zhì)數(shù)。當(dāng)時(shí)，，即，兩邊開方可以得到.把自然數(shù)按分段，則至少可以分一段，當(dāng)又因?yàn)?，，，所以故在至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。當(dāng)又因?yàn)?，，，所以故在至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。當(dāng)時(shí)，逐個(gè)驗(yàn)證。所以.設(shè)p是不超過m的最大質(zhì)數(shù)，是不超過的最大質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗裕忠驗(yàn)?，即有p個(gè)數(shù)且，由推論1可以知道，之間至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)。即：定理：5在質(zhì)數(shù)和之間，每隔個(gè)數(shù)至少有一個(gè)素?cái)?shù)。證明：設(shè)，是中的基質(zhì)數(shù)。集合，，那么由容斥定理我們可以得到，A中元素的個(gè)數(shù)為，n為中元素的

7、個(gè)數(shù)集合，，中的元素在和之間，設(shè)B中元素的個(gè)數(shù)為S，根據(jù)定理1可以知道，所以，所以，，這就說明在中至少有一個(gè)數(shù)不能同時(shí)被整除，根據(jù)質(zhì)數(shù)的判定定理，小于數(shù)的平方根都小于，即是和之間數(shù)的前部質(zhì)數(shù)或者比前部質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)多，不能被整除的數(shù)必為質(zhì)數(shù)。也就是說，在質(zhì)數(shù)和之間，每隔個(gè)數(shù)至少有一個(gè)素?cái)?shù)。勒讓德猜想勒讓德猜：證明：設(shè)是不超過n的所有素?cái)?shù)。把自然數(shù)按n分段，之間可以分兩段。因?yàn)椋@兩段分別是根據(jù)素?cái)?shù)分布基本定理：這兩段中分別至少有一個(gè)數(shù)不能被整除。下面我們證明這兩個(gè)數(shù)就是素?cái)?shù)。那么，也就是說如果以內(nèi)的數(shù)

8、不能被整除那這個(gè)數(shù)一定是素?cái)?shù)。這兩段中分別至少有一個(gè)數(shù)不能被整除。那么這兩個(gè)數(shù)一定是素?cái)?shù)。奧波曼猜想。證明：因?yàn)楦鶕?jù)勒讓德猜：所以。伯蘭特猜想證明：因?yàn)?，所以，n到2n之間有n個(gè)數(shù)。設(shè)不超過n的素?cái)?shù)為，那么不超過n的素?cái)?shù)一定不小于不超過的素?cái)?shù)。再根據(jù)素?cái)?shù)分布基本定理，以自然數(shù)n把自然數(shù)列分段，那么n+1到2n之間至少有一個(gè)數(shù)不能被素?cái)?shù)整除。如果在2n內(nèi)的數(shù)不能被不超過的素?cái)?shù)整除，那么這個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)。也就是說這個(gè)不能被素?cái)?shù)整除的數(shù)就是素?cái)?shù)，故n到2n之間至少有一個(gè)素?cái)?shù)。布羅卡猜想：在質(zhì)