素?cái)?shù)分布研究

《素?cái)?shù)分布研究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、素?cái)?shù)分布研究摘要：素?cái)?shù)分布主要研究什么呢？我認(rèn)為主要應(yīng)從三個(gè)方面進(jìn)行研究：一、素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)公式；二、素?cái)?shù)的生成公式；三、素?cái)?shù)分布的性質(zhì)。精確的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)公式，是研究素?cái)?shù)分布的基礎(chǔ)，離開了素?cái)?shù)個(gè)數(shù)公式的研究，素?cái)?shù)分布的研究就是無源之水，素?cái)?shù)個(gè)數(shù)公式的研究一直是素?cái)?shù)分布屮的i個(gè)重要問題，因此，我們首先要研究索數(shù)的個(gè)數(shù)公式；其次找到素?cái)?shù)的生成公式一直是人們夢寐以求的理想；最后就是對素?cái)?shù)的各種性質(zhì)進(jìn)行研究，這樣才能對素?cái)?shù)的分布冇的一個(gè)全面的理解。木文圍繞素?cái)?shù)的分布，利川分析的觀點(diǎn)，證明了真正的素?cái)?shù)定理：j—+-1Inn+/-In2-o()Inn抗棄了原來粗糙的素?cái)?shù)定理的近似公式兀

2、⑴?—^―lnx深刻揭示了歐拉隊(duì)I數(shù)與素?cái)?shù)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系以及歐拉隊(duì)I數(shù)分析化的-?個(gè)重要結(jié)論(p{n)=7i{ri)-m+(p(n)=】In/?+/-In2-o()Innn找到人們夢寐以求的能夠生成全體索數(shù)的索數(shù)公式M一.設(shè)M=p}p2pk,M.=—(P"P2為連續(xù)的質(zhì)數(shù))'Pi~{n=a.(modpi),0

3、公式在證明素?cái)?shù)定理之前先給出幾個(gè)定理：定義：設(shè)n為正整數(shù)，所有小于n而與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，由n唯一決定，是定義在正整數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)，稱為歐拉兩數(shù)，記作0(/7)。當(dāng)n>l時(shí),由定義易知,(p(n)<(n-1),并且(p(h)=n-l充要條件是n為素?cái)?shù)。為了理論上的完整，我們規(guī)定0(1)=1。下面我們不加證明給出歐拉函數(shù)的兩個(gè)定理，證明可以參考初等數(shù)論。定理1：若(npn2)=l,那么(p(n心=。定理2：設(shè)n為正整數(shù),p加為n的前部素?cái)?shù),那么（p（n）=7r（n）-m+l□證明：設(shè)n為正整數(shù)，Pm為n的前部素?cái)?shù)，若心……kp_^kr={pq^rq為整數(shù)}是卩的

4、剩余類。不難知道，所冇整數(shù)均勻分布在這p個(gè)剩余類屮，若在1,2,,n內(nèi)任取一個(gè)整數(shù)a則pIa的概率定義為1/p,那么p不整除a的概率即為1--,若p<4^是素?cái)?shù)，每一個(gè)p能否有p不整除a可視為獨(dú)立事P件，故在1，2,,n內(nèi)，任取一數(shù)b不能被p整除的概率為Y［（l-丄），在1,2,,pgjnPn內(nèi)，不能被p整除的就是后部素?cái)?shù)和1,因?yàn)榍安克鲾?shù)是能被p整除的，pp.所以A?匸［（1-丄）等于后部質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)加1,乂因?yàn)榍安克財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)為m,處2）?口（1-丄）p<}nPpgjnP因此,龍（〃）=加+〃匚［（1一~）-1,所以我們有兀（/?）=加+0（〃）一1。p<4nP即

5、:（p（n）=n（n）-zn+1,命題得證。定理3:設(shè)n為正整數(shù)，不超過正整數(shù)n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為龍（斤）=加+/1匸［（1-丄）-1。p

6、,“2,幾為n的前部素?cái)?shù)，若%,匕,……kp_^kr={Piq+rq為整數(shù)}是門的剩余類。不難知道，所冇整數(shù)均勻分布在這卩個(gè)剩余類中，若在1，2,,n內(nèi)任取一個(gè)整數(shù)a則PiIa的概率定義為丄，那么Pi門不整除a的概率即為1-丄，若p.<^是素?cái)?shù)，每一個(gè)p.能否有p.不整除a可視為獨(dú)Pi立事件，故在I,2,,n內(nèi)，任収一數(shù)b不能被p、，P2,……必”整除的概率為匸［（1一一）0在1,2,,n內(nèi)，不能被P

7、，P2,……幾整除的就是后部素?cái)?shù)和1,/=1Pim1因?yàn)榍安克鲾?shù)門是能被門整除的，即PiPio所以?n（i-一）等于后部質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)加1,/=!Pi又因?yàn)榍安克財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)為m,所以我們有，不超過正整數(shù)n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為加]/r(n)=m+叮1(1——)一1。/=!Pi加1推論1：設(shè)n為正整數(shù)，Pig,幾為n的前部索數(shù)，那么0(幾)=〃匸［(1)of=lPi也可以簡記為(p(n)=nF［(i-￡)。pS、歷P定理4：(Euler乘積公式)設(shè)f(n)滿足/(^^2)=,且2/0)

8、<8，貝U：/

9、=1￡/儀)=口［1+/(")+/(卩2)+/(”)……

10、n=p證明：由于J

11、

12、/(n)

13、