3、公式在證明素數(shù)定理之前先給出幾個定理：定義：設n為正整數(shù)，所有小于n而與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，由n唯一決定，是定義在正整數(shù)集上的一個函數(shù)，稱為歐拉兩數(shù)，記作0(/7)。當n>l時,由定義易知,(p(n)<(n-1),并且(p(h)=n-l充要條件是n為素數(shù)。為了理論上的完整，我們規(guī)定0(1)=1。下面我們不加證明給出歐拉函數(shù)的兩個定理，證明可以參考初等數(shù)論。定理1：若(npn2)=l,那么(p(n心=。定理2：設n為正整數(shù),p加為n的前部素數(shù),那么（p（n）=7r（n）-m+l□證明：設n為正整數(shù)，Pm為n的前部素數(shù)，若心……kp_^kr={pq^rq為整數(shù)}是卩的
4、剩余類。不難知道，所冇整數(shù)均勻分布在這p個剩余類屮，若在1,2,,n內(nèi)任取一個整數(shù)a則pIa的概率定義為1/p,那么p不整除a的概率即為1--,若p<4^是素數(shù)，每一個p能否有p不整除a可視為獨立事P件，故在1，2,,n內(nèi)，任取一數(shù)b不能被p整除的概率為Y［（l-丄），在1,2,,pgjnPn內(nèi)，不能被p整除的就是后部素數(shù)和1,因為前部索數(shù)是能被p整除的，pp.所以A?匸［（1-丄）等于后部質數(shù)的個數(shù)加1,乂因為前部素數(shù)的個數(shù)為m,處2）?口（1-丄）p<}nPpgjnP因此,龍（〃）=加+〃匚［（1一~）-1,所以我們有兀（/?）=加+0（〃）一1。p<4nP即
5、:（p（n）=n（n）-zn+1,命題得證。定理3:設n為正整數(shù)，不超過正整數(shù)n的素數(shù)的個數(shù)為龍（斤）=加+/1匸［（1-丄）-1。p
6、,“2,幾為n的前部素數(shù)，若%,匕,……kp_^kr={Piq+rq為整數(shù)}是門的剩余類。不難知道，所冇整數(shù)均勻分布在這卩個剩余類中，若在1，2,,n內(nèi)任取一個整數(shù)a則PiIa的概率定義為丄，那么Pi門不整除a的概率即為1-丄，若p.<^是素數(shù)，每一個p.能否有p.不整除a可視為獨Pi立事件，故在I,2,,n內(nèi)，任収一數(shù)b不能被p、，P2,……必”整除的概率為匸［（1一一）0在1,2,,n內(nèi)，不能被P
7、，P2,……幾整除的就是后部素數(shù)和1,/=1Pim1因為前部索數(shù)門是能被門整除的，即PiPio所以?n（i-一）等于后部質數(shù)的個數(shù)加1,/=!Pi又因為前部素數(shù)的個數(shù)為m,所以我們有，不超過正整數(shù)n的素數(shù)的個數(shù)為加]/r(n)=m+叮1(1——)一1。/=!Pi加1推論1：設n為正整數(shù)，Pig,幾為n的前部索數(shù)，那么0(幾)=〃匸［(1)of=lPi也可以簡記為(p(n)=nF［(i-￡)。pS、歷P定理4：(Euler乘積公式)設f(n)滿足/(^^2)=,且2/0)
8、<8，貝U：/
9、=1￡/儀)=口［1+/(")+/(卩2)+/(”)……
10、n=p證明：由于J
11、
12、/(n)
13、
