有括積的超代數(shù)與其相關(guān)問題分析

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1、獨(dú)創(chuàng)件聲明本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。據(jù)我所知，除了特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本人的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中作了明確的說明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名：學(xué)位論文使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解東北師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：東北師范大學(xué)有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)東北師范大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它復(fù)制

2、手段保存、匯編本學(xué)位論文。(保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書)學(xué)位論文作者簽名：繼指導(dǎo)教師簽名：邀速烈日期：塑翌：叢Et期：型掣：￡!鎏學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向：工作單位：通訊地址：電話：郵編：東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文§1．1課題背景§1緒論在二十世紀(jì)八十年代，由于物理學(xué)中超對稱問題研究的需要，李超代數(shù)得以迅猛發(fā)展。在二十世紀(jì)八十年代，物理學(xué)為了建立相對論的費(fèi)米子與波色子統(tǒng)一理論，由Wess和Zumin提供了超對稱性，將普通的時間、空間的Poincare李代數(shù)擴(kuò)充為Pomcare李超代數(shù)，從此開始了對李超代數(shù)的研究。李超代數(shù)的研究成果不僅促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展，在數(shù)

3、學(xué)上亦與組合數(shù)學(xué)，頂點(diǎn)算子代數(shù)，微分流行，微分幾何，拓?fù)鋵W(xué)等重要的數(shù)學(xué)分支有著廣泛而深刻的聯(lián)系。因此至今這方面的研究工作十分活躍。李代數(shù)與李超代數(shù)在物理學(xué)理論以及物理學(xué)中已經(jīng)占有極為重要的位置，它的發(fā)展將對數(shù)學(xué)的其他分支與理論物理產(chǎn)生深刻影響。在李代數(shù)或是李超代數(shù)的研究過程中，我們知道一個代數(shù)可以嵌入到它的泛中心擴(kuò)張之中，因此對于代數(shù)的泛中心擴(kuò)張代數(shù)的結(jié)構(gòu)的研究有助于我們研究該代數(shù)本身的結(jié)構(gòu)分類等重要性質(zhì)，是很有意義的。近年對李代數(shù)的研究又出現(xiàn)了去掉李代數(shù)中的某些條件而產(chǎn)生的新的代數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)(我們稱之為外代數(shù))的研究與探討。例如Leibniz代數(shù)，就是在李代數(shù)的

4、基礎(chǔ)上拿掉反對稱條件：『x,y]--[y,x]而得到的外代數(shù)。同樣的在李超代數(shù)的條件之中平行地拿掉與某個外代數(shù)對應(yīng)的條件得到的就是與之相對應(yīng)的超代數(shù)。例如在李超代數(shù)中拿掉反超對稱條件：[x，y】=(．1)㈣p’【y，x]得到的就是與Leibniz代數(shù)相對應(yīng)的Leibmz超代數(shù)。對于這些外代數(shù)的研究有利于深化我們對于李代數(shù)李超代數(shù)性質(zhì)，分類的研究。同樣李代數(shù)作為這些外代數(shù)的特例也會在外代數(shù)的研究過程之中得到促進(jìn)發(fā)展。在兩千零六年，Casas．J．M和Pirashvili在研究非交換的Leibmz代數(shù)過程中提出了有括積代數(shù)的概念并在此基礎(chǔ)上以同調(diào)的手法研究了該代數(shù)的

5、同調(diào)群得出了這種代數(shù)的泛中心擴(kuò)張的核，從而構(gòu)造了這個代數(shù)的泛中心擴(kuò)張。本文主要就是在李超代數(shù)的基礎(chǔ)上受到由結(jié)合超代數(shù)誘導(dǎo)出的李超代數(shù)與結(jié)合超代數(shù)的融合等式[a·6，c]=a．[6，c]+(-1)動×p[口，C]·b的啟發(fā)從而對有括積的超代數(shù)進(jìn)行定義，并研究這種代數(shù)的相關(guān)問題?！?．2本文研究內(nèi)容本文研究的代數(shù)典型范例就是由結(jié)合超代數(shù)誘導(dǎo)出的李超代數(shù)。在這個代數(shù)中有兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)：結(jié)合超代數(shù)和李超代數(shù)，他們相對應(yīng)的運(yùn)算我們在這里簡稱為結(jié)合乘和李乘。我們保留結(jié)合乘這一基本運(yùn)算，定義抽象的與結(jié)合乘具有相容條件等式[口·6，C]=口·[6，c】+(一1)動×c>[口，c】

6、·6的括積運(yùn)算。從而定義了有擴(kuò)東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文積的超代數(shù)。然后借助于Hochschild復(fù)形來研究有括積超代數(shù)的Hochschild上同調(diào)群。然后定義一個上鏈映射口，通過該映射的mappingcone這一同調(diào)代數(shù)中的常用手法來構(gòu)建有括積超代數(shù)的上鏈復(fù)形，得到有括積超代數(shù)的上同調(diào)日二船(彳，M)。再應(yīng)用自由應(yīng)用基本的同調(diào)運(yùn)算得到這個上同調(diào)同構(gòu)于Quillen上同調(diào)。接著定義有括積超代數(shù)的平凡同調(diào)。然后應(yīng)用Loday的一個結(jié)論得出對應(yīng)于一個短正合列的五項(xiàng)正合列。把這個結(jié)論應(yīng)用到有括積超代數(shù)的中心擴(kuò)張上面很容易的得到有括積超代數(shù)的泛中心擴(kuò)張的核同構(gòu)于剛定義的平

7、凡同調(diào)的一維同調(diào)群。有了泛中心擴(kuò)張的核，那么就可以根據(jù)這個核來對應(yīng)的構(gòu)造有括積超代數(shù)的泛中心擴(kuò)張。其實(shí)這個泛中心擴(kuò)張的構(gòu)造是受到了K．Iohara和Y．Koga于二零零一年在Commmt．Math．Helv．76發(fā)表的文章CentralextensionofLiesuperalgebras中構(gòu)造方法的啟發(fā)。文章中是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，而我要解決的代數(shù)是具有兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)的雙代數(shù)結(jié)構(gòu)對于其中任何～種代數(shù)都可以構(gòu)造類似于上面文章中的泛中心擴(kuò)張，你們?yōu)榱私鉀Q他們之間的共存關(guān)系，就有了(彳@彳)o(彳p彳)的構(gòu)造。在它的基礎(chǔ)上模去Imd2及再其上再賦予顯然的運(yùn)算使之成為有括積超

8、代數(shù)。這樣就得到了有括積