有括積的超代數(shù)與其相關問題分析

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1、獨創(chuàng)件聲明本人鄭重聲明：所提交的學位論文是本人在導師指導下獨立進行研究工作所取得的成果。據(jù)我所知，除了特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本人的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確的說明。本聲明的法律結果由本人承擔。學位論文作者簽名：學位論文使用授權書本學位論文作者完全了解東北師范大學有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：東北師范大學有權保留并向國家有關部門或機構送交學位論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權東北師范大學可以將學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或其它復制

2、手段保存、匯編本學位論文。(保密的學位論文在解密后適用本授權書)學位論文作者簽名：繼指導教師簽名：邀速烈日期：塑翌：叢Et期：型掣：￡!鎏學位論文作者畢業(yè)后去向：工作單位：通訊地址：電話：郵編：東北師范大學碩士學位論文§1．1課題背景§1緒論在二十世紀八十年代，由于物理學中超對稱問題研究的需要，李超代數(shù)得以迅猛發(fā)展。在二十世紀八十年代，物理學為了建立相對論的費米子與波色子統(tǒng)一理論，由Wess和Zumin提供了超對稱性，將普通的時間、空間的Poincare李代數(shù)擴充為Pomcare李超代數(shù)，從此開始了對李超代數(shù)的研究。李超代數(shù)的研究成果不僅促進了物理學的發(fā)展，在數(shù)

3、學上亦與組合數(shù)學，頂點算子代數(shù)，微分流行，微分幾何，拓撲學等重要的數(shù)學分支有著廣泛而深刻的聯(lián)系。因此至今這方面的研究工作十分活躍。李代數(shù)與李超代數(shù)在物理學理論以及物理學中已經占有極為重要的位置，它的發(fā)展將對數(shù)學的其他分支與理論物理產生深刻影響。在李代數(shù)或是李超代數(shù)的研究過程中，我們知道一個代數(shù)可以嵌入到它的泛中心擴張之中，因此對于代數(shù)的泛中心擴張代數(shù)的結構的研究有助于我們研究該代數(shù)本身的結構分類等重要性質，是很有意義的。近年對李代數(shù)的研究又出現(xiàn)了去掉李代數(shù)中的某些條件而產生的新的代數(shù)代數(shù)結構(我們稱之為外代數(shù))的研究與探討。例如Leibniz代數(shù)，就是在李代數(shù)的

4、基礎上拿掉反對稱條件：『x,y]--[y,x]而得到的外代數(shù)。同樣的在李超代數(shù)的條件之中平行地拿掉與某個外代數(shù)對應的條件得到的就是與之相對應的超代數(shù)。例如在李超代數(shù)中拿掉反超對稱條件：[x，y】=(．1)㈣p’【y，x]得到的就是與Leibniz代數(shù)相對應的Leibmz超代數(shù)。對于這些外代數(shù)的研究有利于深化我們對于李代數(shù)李超代數(shù)性質，分類的研究。同樣李代數(shù)作為這些外代數(shù)的特例也會在外代數(shù)的研究過程之中得到促進發(fā)展。在兩千零六年，Casas．J．M和Pirashvili在研究非交換的Leibmz代數(shù)過程中提出了有括積代數(shù)的概念并在此基礎上以同調的手法研究了該代數(shù)的

5、同調群得出了這種代數(shù)的泛中心擴張的核，從而構造了這個代數(shù)的泛中心擴張。本文主要就是在李超代數(shù)的基礎上受到由結合超代數(shù)誘導出的李超代數(shù)與結合超代數(shù)的融合等式[a·6，c]=a．[6，c]+(-1)動×p[口，C]·b的啟發(fā)從而對有括積的超代數(shù)進行定義，并研究這種代數(shù)的相關問題。§1．2本文研究內容本文研究的代數(shù)典型范例就是由結合超代數(shù)誘導出的李超代數(shù)。在這個代數(shù)中有兩種代數(shù)結構：結合超代數(shù)和李超代數(shù)，他們相對應的運算我們在這里簡稱為結合乘和李乘。我們保留結合乘這一基本運算，定義抽象的與結合乘具有相容條件等式[口·6，C]=口·[6，c】+(一1)動×c>[口，c】

6、·6的括積運算。從而定義了有擴東北師范大學碩士學位論文積的超代數(shù)。然后借助于Hochschild復形來研究有括積超代數(shù)的Hochschild上同調群。然后定義一個上鏈映射口，通過該映射的mappingcone這一同調代數(shù)中的常用手法來構建有括積超代數(shù)的上鏈復形，得到有括積超代數(shù)的上同調日二船(彳，M)。再應用自由應用基本的同調運算得到這個上同調同構于Quillen上同調。接著定義有括積超代數(shù)的平凡同調。然后應用Loday的一個結論得出對應于一個短正合列的五項正合列。把這個結論應用到有括積超代數(shù)的中心擴張上面很容易的得到有括積超代數(shù)的泛中心擴張的核同構于剛定義的平

7、凡同調的一維同調群。有了泛中心擴張的核，那么就可以根據(jù)這個核來對應的構造有括積超代數(shù)的泛中心擴張。其實這個泛中心擴張的構造是受到了K．Iohara和Y．Koga于二零零一年在Commmt．Math．Helv．76發(fā)表的文章CentralextensionofLiesuperalgebras中構造方法的啟發(fā)。文章中是一種代數(shù)結構，而我要解決的代數(shù)是具有兩種代數(shù)結構的雙代數(shù)結構對于其中任何～種代數(shù)都可以構造類似于上面文章中的泛中心擴張，你們?yōu)榱私鉀Q他們之間的共存關系，就有了(彳@彳)o(彳p彳)的構造。在它的基礎上模去Imd2及再其上再賦予顯然的運算使之成為有括積超

8、代數(shù)。這樣就得到了有括積