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《化工計算方法-7-代數(shù)方程組數(shù)值解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、7代數(shù)方程組數(shù)值解法7.1直接法解線性方程組7.1.1高斯（Gauss）消去法代數(shù)方程組線性非線性線性代數(shù)方程組求解方法直接法：通過有限步運算，減少或消去未知量個數(shù)，求得方程精確解的方法迭代法：反復(fù)運用迭代格式，逐步逼近方程精確解的方法方法及步驟第1行各項除以a11后得將以上方程分別乘(-ai1)后加到第i行(i=2，3，…，n)，得高斯（Gauss）消去法變元x2…xn的N-1階方程組將以上方程分別乘(-ai2)后加到第i行(i=3，…，n)，得重復(fù)以上過程，n步后，得到以下形式方程組上三角形方程組，將方程組加工成三角形的過程稱為消元過程第2行各項除以a22后得N-2階
2、方程組高斯（Gauss）消去法的回代過程高斯(Gauss)消去法逆序回代可求得所有未知數(shù)直接得到xn的值計算可得xn-1的值繼續(xù)計算可得xn-2，xn-3，…x1的值消元過程：通過減少變元個數(shù)將方程加工為上三角形方程組回代過程：逆序回代求得未知數(shù)的解7.1.2列主元高斯（Gauss）消去法設(shè)第l個方程系數(shù)alk最大處理方法：每次消元前，檢查所要加工的方程組中變元xk的各個系數(shù)akk，ak+1，…，ank，挑選出絕對值最大者作為第k步主元素。將第l個方程與第k個方程互換位置，也就是將第l行與第k行的全部元素互換，使alk成為新的主元素akk，然后再進行消元。消元過程要用元素
3、akk中作除數(shù)，如果akk的絕對值很小或者等于0，計算過程中精度會嚴重損失甚至溢出中斷計算。預(yù)防辦法是事先對方程進行處理7.1.3追趕法解三對角線方程組系數(shù)矩陣是三對角矩陣——只有主對角線和相鄰的兩條對角線上有非零元素，其余元素為零。追趕法是高斯消去法用于解三對角矩陣的簡化形式，這種方法比較簡單，計算量小，節(jié)省存貯量。三對角型方程組的系數(shù)矩陣追趕法的步驟：1、消元：將對角線元素化為1，并將下對角元素消去2、進行回代計算追趕法消元過程消元后形式為回代過程特點：計算量很小，所需存貯量小，三對角線以外的零元素不占存貯空間，程序編寫容易。例7-1分別用Gauss消去和列主元Gau
4、ss消去求解方程組解MATLAB中，求解線性方程組最方便的是直接使用左除符號‘/’，只須寫為“X=Ab”，即可求解。本例為說明高斯消去和列主元高斯消去的求解過程，仍按算法步驟編程計算。參考程序見教材p.83.高斯消去和列主元高斯消去的計算結(jié)果x=9-1-67.2迭代法解線性方程組 7.2.1雅可比迭代法代入一組近似值例：用雅可比迭代解方程組首先從上式分離出x1、x2、x3寫成一般形式本例取迭代初值X(1)=1.099998X(2)=1.199998X(3)=1.299997經(jīng)過12次迭代，得用以上格式計算，可產(chǎn)生一系列近似解序列，當兩次迭代結(jié)果偏差小于給定精度時，計算終
5、止。雅可比迭代格式迭代法解代數(shù)方程組的基本思想：將聯(lián)立方程組的求解，歸結(jié)為重復(fù)計算一組彼此獨立的表達式（使問題簡化）迭代格式的一般形式是否所有迭代格式都可以求得方程組的解?以此迭代格式，仍取初值迭代格式討論從方程2,3,1分離出x1、x2、x3迭代得迭代結(jié)果:xi的值越來越大，最終導(dǎo)致溢出發(fā)散.7.2.2高斯－塞德爾迭代法如果計算結(jié)果收斂，所求xi(k+1)通常比xi(k)準確，若在迭代時將最新算出的xi(k+1)馬上用于其后的計算中，有雅可比迭代高斯－塞德爾迭代高斯－塞德爾迭代格式迭代的收斂判據(jù)絕對收斂判據(jù)相對收斂判據(jù)迭代格式收斂條件-1收斂精度收斂精度線性方程組雅可比
6、迭代格式高斯－塞德爾迭代格式如果滿足迭代格式收斂例：對以下方程的兩種迭代格式（各行同列系數(shù)相加之和中最大者小于1）則以上迭代格式對任意給定的初值均收斂迭代格式發(fā)散雅可比迭代格式收斂條件-2方程組形式為如果系數(shù)矩陣滿足對角占優(yōu)則雅可比迭代與高斯－塞德爾迭代對任意給定初值均收斂系數(shù)矩陣主對角線元素的絕對值大于同行其它元素絕對值之和，稱為具有主對角線優(yōu)勢。迭代法要求方程組具有主對角線優(yōu)勢7.2.2解代數(shù)方程組的超松弛(SOR)法代入高斯－塞德爾迭代格式基于高斯-塞德爾迭代格式的超松弛迭代公式?（松弛因子Relaxationfactor）：調(diào)整兩次迭代計算結(jié)果之差（迭代所得未知量
7、的變化幅度）目的：改善迭代計算的收斂性和穩(wěn)定性，加快收斂速度兩次迭代計算的結(jié)果之差插入系數(shù)?超松弛與欠松弛例：以下為偏微分方程的差分方程組，用松弛迭代法求解，初值取為:xi(0)=10.0(i=1,2,…,10)，收斂精度為0.0001，?的取值從0.5開始，每次增量0.05，直到?=1.50，比較不同?取值下的迭代次數(shù)K?>1，稱為超松弛OverRelaxation，收斂過程加快；0
