數(shù)學(xué)建模鉛球擲遠(yuǎn)

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1、鉛球擲遠(yuǎn)理學(xué)院物理10112010533021姓名：童一龍摘要：本文研究了鉛球擲遠(yuǎn)的問題，分析了擲遠(yuǎn)距離和出手速度、出手角度、出手高度的關(guān)系。得出了對(duì)于不同的出手速度，確定的了最佳出手角度，且比較了擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏度。由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，影響投擲距離的因素主要有鉛球出手時(shí)的初速度、出手角度和出手高度。本文利用物理中運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)研究鉛球投擲運(yùn)動(dòng)，通過建立模型,分析出手速度、出手角度、出手高度三個(gè)因素對(duì)投擲距離的影響，從而解決鉛球擲遠(yuǎn)問題.關(guān)鍵詞：鉛球擲遠(yuǎn)出手速度出手角度數(shù)學(xué)模型1背景及

2、問題的提出鉛球擲遠(yuǎn)比賽的場(chǎng)地是直徑2.135m的圓，要求運(yùn)動(dòng)員從場(chǎng)地中將7.257kg重的鉛球擲在45°的扇形區(qū)域內(nèi)，如圖1。觀察運(yùn)動(dòng)員的比賽錄像發(fā)現(xiàn)，他們的投擲角度變化較大，一般在38°~45°，有的高達(dá)55°建立模型討論以下問題：1.以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。2.給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，確定最佳出手角度。比較擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度靈敏性。1.考慮運(yùn)動(dòng)員推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作，改進(jìn)上面的模型。2數(shù)學(xué)建模2.1問題分析如果出手速度、出手角度、出

3、手高度都已給定，且不考慮鉛球在空氣中所受的阻力影響，則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定理可完全確定鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。2.2模型假設(shè)假設(shè)1：以水平面為參考系，設(shè)運(yùn)動(dòng)員的出手高度為h，出手角度為θ，出手速度為V。，鉛球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)經(jīng)歷時(shí)間為t1，從最高點(diǎn)下落到水平面的時(shí)間為t2，在總時(shí)間T=t1+t2內(nèi)鉛球水平方向經(jīng)過的路程即為S。假設(shè)2.鉛球在空氣中所受的阻力對(duì)其運(yùn)動(dòng)影響甚小，忽略不計(jì)。假設(shè)3.不考慮運(yùn)動(dòng)員推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作。2.3模型建立圖2：鉛球擲遠(yuǎn)簡(jiǎn)意圖如圖2為鉛球斜拋運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)易圖，對(duì)鉛球的運(yùn)動(dòng)求解：①將

4、出手速度V。在水平及豎直方向分解：②鉛球從開始拋出到最高點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間：③鉛球最高點(diǎn)處到拋出位置的垂直高度:④鉛球從最高點(diǎn)落到水平面的時(shí)間：⑤鉛球水平方向經(jīng)過的路程：聯(lián)立以上5個(gè)方程最后可得擲遠(yuǎn)距離S與出手速度、出手角度、出手高度的函數(shù)關(guān)系式：因?yàn)閷?duì)出手高度沒有要求，可設(shè)出手高度h=1.8m,g為重力加速度，取9.8m/s^2.Matlab命令1．建立擲遠(yuǎn)距離隨出手速度和出手角度變化的函數(shù)文件functionf=fun_s(a,v)f=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9

5、.8+(v.*v.*sin(2.*a)./19.6).^2).^0.5+v.*v.*sin(2*a)./19.6;2．在matlab中繪出函數(shù)圖像v=linspace(0,30,100);a=linspace(0,pi/2.100);[A,V]=meshgrid(a,v);S=fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel('速度Vm/s');xlabel('角度');zlabel('投擲距離m');title('不同出手速度和角度對(duì)應(yīng)的拋擲距離圖像');axis([0pi/20300

6、100]);結(jié)果如下圖所示：圖3.不同出手速度和角度對(duì)應(yīng)的拋擲距離圖像3模型求解3.1給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，確定最佳出手角度。S對(duì)θ求導(dǎo)：要使擲遠(yuǎn)距離最大，即另，則化簡(jiǎn)最后得到:。所以在給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，為最佳出手角度。Matlab命令：1.在給定出手速度v下要達(dá)到最大射程時(shí)對(duì)應(yīng)的角度函數(shù)文件：functionf=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v))/pi*180;繪出圖像：fplot('fun_sv',[0,100])

7、;xlabel('速度Vm/s');ylabel('角度');title('v不同得到最大投擲距離時(shí)對(duì)應(yīng)的角度曲線');axis([050060]);結(jié)果如下圖所示：圖4.出手速度不同時(shí)得到最大投擲距離對(duì)應(yīng)的角度曲線3.2比較擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏性。1．對(duì)角度θ求導(dǎo)函數(shù)文件：functionf=fun_da(a,v)h=1.8f=(v.^4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9.8./sqrt(8*9.8

8、*h.*v.*v.*cos(a).^2+v.^4.*sin(2*a).^2)+v.^2.*cos(2*a)./9.8;繪出圖像：da=fun_da(A,V);surf(A/3.14*180,V,da)ylabel('速度Vm/s');xlabel('角度');zlabel('不同角度對(duì)應(yīng)的da');title('不同速度和角度下S對(duì)θ求導(dǎo)圖像');axis([090030-100100]);結(jié)果如下圖：圖5.不同速度和角度下S對(duì)角度求導(dǎo)圖像2.s對(duì)速度v求導(dǎo)函數(shù)文件：functionf=fun_