奧數(shù)專題——裂項(xiàng)法(一)(含答案)-

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1、奧數(shù)專題——裂項(xiàng)法（一）同學(xué)們知道：在計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，兩個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計(jì)算。（一）閱讀思考例如，這里分母3、4是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積，把這個(gè)例題推廣到一般情況，就有一個(gè)很有用的等式：即或下面利用這個(gè)等式，巧妙地計(jì)算一些分?jǐn)?shù)求和的問(wèn)題?！镜湫屠}】例1.計(jì)算：分析與解答：-7-上面12個(gè)式子的右面相加時(shí)，很容易看出有許多項(xiàng)一加一減正好相互抵消變?yōu)?，這一來(lái)問(wèn)題解起來(lái)就十分方便了。像這樣在計(jì)算分?jǐn)?shù)的加、減時(shí)，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱郑沟闷渲幸徊糠址謹(jǐn)?shù)

2、可以相互抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化的方法，我們稱為裂項(xiàng)法。例2.計(jì)算：公式的變式當(dāng)分別取1，2，3，……，100時(shí)，就有-7-例3.設(shè)符號(hào)（）、<>代表不同的自然數(shù)，問(wèn)算式中這兩個(gè)符號(hào)所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少？分析與解：減法是加法的逆運(yùn)算，就變成，與前面提到的等式相聯(lián)系，便可找到一組解，即另外一種方法設(shè)都是自然數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，利用上面的變加為減的想法，得算式。-7-這里是個(gè)單位分?jǐn)?shù)，所以一定大于零，假定，則，代入上式得，即。又因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以一定能整除，即是的約數(shù)，有個(gè)就有個(gè)，這一來(lái)我們便得到一個(gè)比更廣泛的等式，即當(dāng)

3、，，是的約數(shù)時(shí)，一定有，即上面指出當(dāng)，，是的約數(shù)時(shí)，一定有，這里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九個(gè)約數(shù)。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，-7-當(dāng)時(shí)，，故（）和<>所代表的兩數(shù)和分別為49，32，27，25?！灸M試題】（答題時(shí)間：20分鐘）二.嘗試體驗(yàn)：1.計(jì)算：2.計(jì)算：3.已知是互不相等的自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，求。-7-【試題答案】1.計(jì)算：2.計(jì)算：3.已知是互不相等的自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，求。的值為：75，81，96，121，147，200，361。因?yàn)?8的約數(shù)有1

4、，2，3，6，9，18，共6個(gè)，所以有-7-還有別的解法。-7-