數(shù)列的極限與無窮大量

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1、Chapt2數(shù)列與極限嚴格的證明是數(shù)學的標志,這是數(shù)學對于文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的營養(yǎng),一個學生若對數(shù)學證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.---波利亞(Polya,G.)數(shù)學的主要目標是大眾的利益和對自然現(xiàn)象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)Chapt2.極限與連續(xù)2021/9/151本章主要內(nèi)容§1.數(shù)列極限和無窮大§2.函數(shù)的極限§3.連續(xù)函數(shù)§4.無窮小量和無窮大量的階Chapt2.極限與連續(xù)2021/9/152Chapt2.極限與連續(xù)教學目的:本章討論的極限與連續(xù)概念和性質(zhì),是貫穿數(shù)學分析課程的基本方法與工具.后面全部內(nèi)容的研究都要用到.所以這部

2、分內(nèi)容既是重點同時也是難點.教學要求:務必深刻理解和熟練掌握極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)及其運算方法,這是學好本課程的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.2021/9/153本節(jié)內(nèi)容一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運算七、小結(jié)思考題2021/9/154“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、割圓求周播放極限思想：三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率圓周長割圓術(shù)！2021/9/155討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知的圓周長（1）在任何有限的過程中，即對任何確定的n，

3、皆為的近似值；（2）在無限的過程中，即當n無限增大時，無限接近于常數(shù)的精確值。是當n無限增大時的極限2021/9/156圓面積亦如此。啟示：已知與未知有限與無限近似與精確直線與曲線2021/9/1572、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”2021/9/158一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個數(shù)LL,,,,21nxxx數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為定義域并且由小到大取值所對應的一列函數(shù)值(集合)。對，設，則函數(shù)值：自變量：}{nx，表示為數(shù)列為第n項或通項。2021/9/159例如：01擺動！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性定量分析)2021/9/15

4、10播放定性分析：當n無限增大時，無限趨近于1，數(shù)1即所謂的“極限”。2021/9/1511定量分析：無限趨近于1是指：當n充分大時,能任意小，并保持任意小。例如：即自然數(shù)10，當n>10時，有……2021/9/1512由不等式有，故只須即可。以上還不能說明任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。自然數(shù)，當時，便有定量定義：則稱數(shù)1是的極限。2021/9/1513若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.如是發(fā)散數(shù)列.2021/9/1514３、數(shù)列極限的幾何解釋:2021/9/1515鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項以后有關(guān)，而與它前面的有限個項無關(guān)。因此，在討論數(shù)列極限時，

5、可添加、去掉或改變其有限個項的數(shù)值，對數(shù)列收斂性和極限都無影響。？2021/9/1516（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)。（1）正數(shù)絕對的任意性和相對固定性。4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點理解（3）當時，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。無窮小量不是很小的量。2021/9/15172021/9/1518例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：(不妨設)2021/9/1519例2證：放大2021/9/1520小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.方法2：若不易求解，可設法先把適當?shù)胤糯螅儆汕蠼釴.2021/9/152

6、1證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的N)2021/9/1522（方法二）由二項式定理，有2021/9/15232021/9/15242021/9/1525縮小分母，適當放大2021/9/15262021/9/15272021/9/1528※2021/9/1529()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的極限大小與這兩個數(shù)列的充分遠片段中項的大小的關(guān)系問題。2021/9/1530推論1所指出的實質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的充分遠片段中項的大小與這兩個數(shù)列的極限大小的關(guān)系問題。2021/9/1531推論2特殊情況所指出的實質(zhì)問題是一個收斂數(shù)列的極限符號與

7、這個數(shù)列的充分遠片段中項的符號的關(guān)系問題。2021/9/1532Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。2021/9/1533稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實質(zhì)是三個收斂數(shù)列的極限之間的關(guān)系。2021/9/15342021/9/1535由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大2021/9/1536分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應用定理。*由兩面夾法則，得證。2021/9/1537Def