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《離散數(shù)學(xué)-3-1集合的概念和表示法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三章集合與關(guān)系3-1集合的概念和表示法授課人：李朔Email:chn.nj.ls@gmail.com1一、集合的概念集合是不能精確定義的數(shù)學(xué)基本概念,當(dāng)我們討論某一類對象時，就把這一類對象的全體稱為集合。這些對象稱為集合中元素。元素也是抽象的，無法精確定義，可以認(rèn)為是存在于世界上的一切客觀物體。例如：地球上的人。公園里的花。坐標(biāo)平面上的點。2一、集合的概念通常用大寫字母表示一個集合，例A，B，?。用小寫字母表示一個集合的元素，例a,b,x,y,?。若元素a屬于集合A，記作a?A,否則記a?A。若一個集的元素個數(shù)是有限，稱有限集，否則稱為無限集。有限
2、集合的元素個數(shù)稱為該集合的基數(shù)，集合A的基數(shù)記為
3、A
4、。3一、集合的概念本書通常用N表示自然數(shù)集（包含0），Z代表整數(shù)數(shù)集，Q代表有理數(shù)集，R代表實數(shù)集，C代表復(fù)數(shù)集。集合的表示通常有二種方法：1）列舉法：把集合的元素在花括號內(nèi)列出例A={a,b,c,d}N={0,1,2,?}W={風(fēng)馬牛}Z={3，5，6，9…}（沒有規(guī)律，所以不能用列舉法）4一、集合的概念2）描述法：用謂詞概括該集合元素的屬性。B={x?P(x)}表示B由使P(x)為真的x組成。例：B={x?x?R?3?x≤6},C={x?x2=1}（={1，-1}）D={y
5、y是教室中所有聽課
6、的同學(xué)}集合的元素必須是確定的。所謂確定的，是指任何一個對象是不是集合的元素是明確的、確定的，不能模棱兩可。即對于集合A，任一元素a，要么a屬于A，要么a不屬于A，兩者必居其一。集合的元素又是能區(qū)分的，能區(qū)分的是指集合中的元素是互不相同的。如果一個集合中有幾個元素相同，算做一個。例如集合?1,2,3,3?和?1,2,3?是同一集合,{a,b},{a,a,b}與{a,a,b,b,b}是相同的集合。集合的元素又是無序的，即?1,2,3?和?3,1,2?是同一集合。集合的元素還可以允許是一個集合，如S=?1,2,?3??,?{a},a?5二．集合之間的關(guān)系
7、集合之間有二種基本關(guān)系：1）相等：兩個集A，B稱作相等，當(dāng)且僅當(dāng)A，B的元素完全相同，記A=B，否則A?B。(P82外延性原理）例{{1,2},4}?{1,2,4}{1,3,5?}={x?x是正奇數(shù)}2）子集（Ｐ83定義3-1.1）：A，B為兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，稱A為B的子集，或A包含在B內(nèi)，或Ｂ包含Ａ，記A?B或B?A。即A?B??x(x?A?x?B)根據(jù)子集的定義，可立即有：對任意集合A，B，C：1）A?A；（自反性）2）A?B，B?C則A?C；(傳遞性）6二．集合之間的關(guān)系定理3-1.1A=B?A?B且B?A證:設(shè)A=B，則?
8、x(x?A?x?B)與?x(x?B?x?A)都為真，故A?B且B?A。反之，若A?B且B?A而A?B，設(shè)某一x?A但x?B（或x?B但x?A）這與A?B（或B?A）矛盾。*本定理結(jié)論是我們以后證明兩個集合相等的主要判定方法。(互為子集法）定義3-1.2:真子集。A，B為兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，但B中至少有一個元素不屬于A，則稱A為B的真子集，或A包含在B內(nèi)，記A?B。即A?B??x(x?A?x?B)?(?x)(x?B?x?A)A?B?A?B?A?B例如：Z?Q又例如：設(shè)A=?a?，B=?a,b?，C=?a,b,c?則A?B，B?C，A?
9、C，但A?A7三、空集Ｐ84定義3-1.3不含任何元素的集合稱為空集，記為?，即?={}。?=?x
10、P(x)∧?P(x)?其中，P(x)為任意謂詞空集?是不包含任何元素的集合，所以，
11、?
12、=0。注：??{?}，??{?}。定理3-1.2對任一個集合A，??A。證：設(shè)?不是A的子集，則必有x??而x?A，這與?的定義矛盾。根據(jù)本定理，空集是任意集合的子集，即??A；對任意集合A，A?A。一般地說，任意集合A至少有兩個子集，一個是空集?，另一個是它本身A。(稱?與Ａ為Ａ的平凡子集）推論空集是惟一的。8例：確定下列命題的真假：(a)???(b)???(c)
13、??{?}(d)??{?}(e){a,b}?{a,b,c{a,b,c}}(f){a,b}?{a,b,c{a,b,c}}(g){a,b}?{a,b,c,{a,b}}(h){a,b}?{a,b,c,{a,b}}9例：求出下列集合的全部子集：(a){?,{?}}?,{?},{{?}},{?,{?}}(b){{a,b},{a,a,b},{b,a,b}}?,{{a,b}}10四、全集定義3-1.4全集若在特定條件下考慮的對象均屬于E，則稱E為全集。全集概念相當(dāng)于論域。如討論宇宙萬物的集合時一切客體都屬于全集。而討論一個班級，則該班級的全部學(xué)生組成了全集。以一個
14、集合的所有子集為元素，可以組成另外一種集合。11五、冪集定義3-1.5給定集合A，由A的所有子集為元素組成的
