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1、全微分方程機動目錄上頁下頁返回結束第五節(jié)定理4.1P,Q在某單連通域D內有連續(xù)一階偏導數,①為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關的條件.1.求原函數u(x,y)2.由du=0知通解為u(x,y)=C.一、全微分方程則稱為全微分方程(又叫做恰當方程).①機動目錄上頁下頁返回結束例4.1求解方程解：因此原方程為全微分方程.取x0=0,y0=0,利用公式得其中C為任意常數.例4.2求解初值問題解：因此原方程為全微分方程.取x0=0,y0=2,利用公式得其中C為任意常數.將初值條件帶入此通解，得C=0.故所求初值問題的解為思考與練習判別下列方程類型:提示:可分離變
2、量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束例.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數)故所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數)所求通解:機動目錄上頁下頁返回結束例:解法1分離變量即(C<0)解法2故有積分(C為任意常數)所求通解:機動目錄上頁下頁返回結束例.求方程的通解.解:注意x,y同號,由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,y為自變量的一階線性方程機動目錄上頁下頁返回結束例.求解解:∴這是一個全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程
3、的通解為或機動目錄上頁下頁返回結束思考:如何解方程這不是一個全微分方程,就化成上例的方程.但若在方程兩邊同乘例2目錄上頁下頁返回結束備用題解方程解法1積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束解法2化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束解法3化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)習題7.4(A)1(1),(5).習題課1目錄上頁下頁返回結束
