《兩向量的混和積》PPT課件

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1、三、兩向量的混和積1.定義2稱?與?的向量積???再與向量?的數(shù)量積為向量?,?,?[???]＝(???)??即的混合積，記作[???]設(shè)有三個(gè)向量?,?,?,則有設(shè)向量?=(ax,ay,az),?=(cx,cy,cz),?=(bx,by,bz),2.混合積的坐標(biāo)表示式ijk,cxcycz,ijk混合積性質(zhì)：(1)[???]=[???]=[???]=–[???]=–[???]=–[???]www.06305.com整理發(fā)布事實(shí)上，若?,?,?在同一個(gè)平面上，則???垂直于它們所在的平面，故???垂直于?,即(???)??=0(2)?,?,?共面[???]=0混合積(???)??的絕

2、對(duì)值等于以?,?,?為棱的平行六面體的體積V的數(shù)值。h平行六面體所以，=

3、(???)??

4、3、混合積(???)??的幾何意義hV=S?h=底面積高h(yuǎn)為?在???上的投影的絕對(duì)值a?b=

5、a

6、?Prjab例5:已知空間內(nèi)不在一個(gè)平面上的四點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)求四面體ABCD的體積。解：四面體ABCD的體積等于以AB,AC和AD為棱的平行六面體體積的六分之一，AB=(x2–x1,y2–y1,z2–z1),AC=(x3–x1,y3–y1,z3–z1),AD=(x4–x1,y4–y1,z4–z1),即所以，V=其中

7、行列式前的符號(hào)必須與行列式的符號(hào)一致?！?平面及其方程(一)平面的點(diǎn)法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面?.則稱向量n為平面?的法向量.注:1?對(duì)平面?,法向量n不唯一;2?平面?的法向量n與?上任一向量垂直.一、平面方程2.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面?過定點(diǎn)M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).對(duì)于平面上任一點(diǎn)M(x,y,z),向量M0M與n垂直.yxzM0MnOn?M0M=0而M0M=(x?x0,y?y0,z?z0),得:A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0稱方程(1)為平面的點(diǎn)法式方程.(1)例1:求過點(diǎn)(2,?3,0)且以n=(1,?2

8、,3)為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1),可得平面方程為:1?(x?2)?2?(y+3)+3?(z?0)=0即:x?2y+3z?8=0nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(?3,4,?6)M1M3=(?2,3,?1)可取n=M1M2?M1M3=14i+9j?k例2:求過三點(diǎn)M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程為:14(x?2)+9(y+1)?(z?4)=0即:14x+9y?z?15=0M1M3M1M2，共面M1M，即(二)平面的三點(diǎn)式方程設(shè)平面?過

9、不共線的三點(diǎn)M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),M1(x1,y1,z1),對(duì)于平面上任一點(diǎn)M(x,y,z),平面的三點(diǎn)式方程.(2)設(shè)平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點(diǎn)oyPxzQR(三)平面的截距式方程則有得當(dāng)非零時(shí)(3)(四)平面的一般方程1、定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是:n=(A,B,C)證:A,B,C不能全為0,不妨設(shè)A?0,則方程可以化為它表示過定點(diǎn),且法向量為n=(A,B,C)的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4)稱為平面的一

10、般方程.例3:已知平面過點(diǎn)M0(?1,2,3),且平行于平面2x?3y+4z?1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同的法向量n=(2?3,4)2(x+1)?3(y?2)+4(z?3)=0即:2x?3y+4z?4=02.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點(diǎn)的平面方程為:Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz+D=0(2)平行于坐標(biāo)軸的平面方程考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)與x軸上的單位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸的平

11、面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z軸的平面方程是Ax+By+D=0.特別:D=0時(shí),平面過坐標(biāo)軸.(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)例4:求通過x軸和點(diǎn)(4,?3,?1)的平面方程.解:由于平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面的方程是By+Cz=0又點(diǎn)(4,?3,?1)在平面