布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型

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1、11.布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型河南大學(xué)工商管理學(xué)院財(cái)務(wù)金融系李治國(guó)E-mail:kflizhiguo@126.com§1布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化。股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票來(lái)復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。在下面幾節(jié)我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想?！?股票價(jià)格的變化過(guò)程布朗運(yùn)動(dòng)（Brown

2、ianMotion）起源于英國(guó)植物學(xué)家布郎對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。一、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)其中，ε代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取的一個(gè)隨機(jī)值。設(shè)△t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，△z代表變量z在時(shí)間△t內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的△z具有兩種特征：特征1：△z和△t的關(guān)系滿足：由此可以看出：即：當(dāng)△t?0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔△t，△z的值相互獨(dú)立。考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形，我們可得：由于εi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且相互獨(dú)立。因此：其中：N△t=T為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)

3、復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來(lái)刻畫股票的這種特征。1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，

4、證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)可用馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（MarkovStochasticProcess）來(lái)表述。隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。可分為離散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。二、普通布朗運(yùn)動(dòng)其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為

5、b2，就可得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：漂移率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值方差率：?jiǎn)挝粫r(shí)間的方差遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程：adt為確定項(xiàng)，意味著x的漂移率是每單位時(shí)間為a；bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)x的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。三、伊藤過(guò)程與伊藤引理其中：dz

6、是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式得到伊藤過(guò)程（ItoProcess）：這就是伊藤過(guò)程（ItoProcess）。其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。由于根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下

7、過(guò)程：四、股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)一般來(lái)說(shuō)，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過(guò)程（即幾何布朗運(yùn)動(dòng)）來(lái)表示：之所以采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)其主要原因有兩個(gè)：一是可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問(wèn)題，二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。令由于代入式證券價(jià)格對(duì)數(shù)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng),且具有恒定的漂移率μ-σ2/2和恒定的方差率σ2。得到證券價(jià)格對(duì)數(shù)G所遵循的隨機(jī)過(guò)程為：案例11.1運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)LnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程1.從自然對(duì)數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。2.股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服

8、從普通布朗運(yùn)動(dòng)，股票價(jià)格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)