布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型 .ppt

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1、第八章　布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型第一節(jié)　證券價格的變化過程一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。可分為

2、離散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。二、布朗運動（一）標準布朗運動設(shè)代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（6.1）：（6.1）其中，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。標準布朗運動(2)特征2：對于任何兩個不同時間間隔，和的值相互獨立?？疾熳兞縵在一段較長時間T中的變化情形，我們可得：（6.2）當?0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：（6.3）（二）普通布朗運

3、動我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x的普通布朗運動：（6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。三、伊藤過程普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過程（ItoProcess）：(6.5）其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。四、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為的伊藤過程來表示：兩邊同除以S

4、得：（6.6）從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見，也具有正態(tài)分布特征(6.7)例6.1設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。五、伊藤引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：（6.8）由于（6.9）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程：(6.10)六、證券價格自然對數(shù)變化過程令，由于代入式（6.10）:（6.11）證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且：設(shè)A股票價格的當前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,

5、波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例6.3請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？例6.2第二節(jié)布萊克——舒爾斯期權(quán)定價模型一、布萊克——舒爾斯微分方程（一）布萊克——舒爾斯微分方程的推導我們假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運動：則：（6.12）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則：（6.13）（6.14）為了消除，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：(6.15)在時間后：（6.16）將式（6.12）和（6.1

6、4）代入式（6.16），可得：（6.17）在沒有套利機會的條件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得：布萊克——舒爾斯微分分程化簡為：(6.18)這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。（二）風險中性定價原理假設(shè)所有投資者都是風險中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克——舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個

7、月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元二、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價公式在風險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其現(xiàn)值為（6.19）對數(shù)股票價格的分布為：（6.20）對式（6.19）求解：（6.21）其中，我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義：首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(