《分離變量法》PPT課件(I)

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1、第十章分離變量法前面介紹的通解法只適用于很少的一類定解問題求解，而本章將要介紹的分離變量法則是求解定解問題的一種最常用、最基本的方法.分離變量法是一種先求出滿足泛定方程及部分定解條件的全部特解，然后把這些特解疊加起來，再利用另一部分定解條件求出疊加系數(shù)，從而求出定解問題的解的方法.本章主要介紹幾種常見坐標(biāo)系下的分離變量法.簡介章節(jié)安排10.1直角坐標(biāo)系下的分離變量法10.2極坐標(biāo)系下的分離變量法10.3球坐標(biāo)系下的分離變量法10.4柱坐標(biāo)系下的分離變量法第一節(jié)直角坐標(biāo)系下的分離變量法一．齊次方程

2、及齊次邊界條件的定解問題1.兩端固定弦的自由橫振動(dòng)問題解：首先將該物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，即列出定解問題回顧常系數(shù)線性齊次常微分方程初值問題的求解過程：首先求出方程的足夠多個(gè)特解（它們能構(gòu)成通解），然后利用疊加原理將這些特解線性組合起來構(gòu)成通解，最后代入初始條件確定疊加系數(shù).對(duì)于定解問題（1）～（3），由于泛定方程和邊界條件都是線性的，因此可以運(yùn)用疊加原理.仿照常微分方程的求解思路，不妨嘗試先尋求齊次方程（1）的滿足齊次邊界條件（2）的足夠多個(gè)簡單形式（變量分離形式）的特解，再利用疊加原理疊加出

3、一般解，最后代入初始條件（3）確定疊加系數(shù).至于如何求出形式簡單的特解，我們可以從物理模型中得到啟發(fā).從物理學(xué)知道，樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，而每一種單音在振動(dòng)過程中總是形成一種正弦曲線，而且其振幅僅依賴于時(shí)間，即每個(gè)單音可表示成：的形式.這種形式的特點(diǎn)是：變量和被分離開了.弦的振動(dòng)和聲音的傳播都屬于波動(dòng)，因此，我們有理由認(rèn)為弦的振動(dòng)位移也可以分解為一系列變量分離形式的特解的疊加.下面我們求解滿足齊次方程（1）及齊次邊界條件（2）的具有變量分離形式的非零特解，設(shè)為（4）①分離變

4、量由此分離出兩個(gè)常微分方程（5）（6）（7）注意分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)榉憾ǚ匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的.②求解本征值問題（8）代入齊次邊界條件（7），得解之，得（9）（10）代入齊次邊界（7），得（11）相應(yīng)地，方程（6）的解為（12）本征值、本征函數(shù)③求解關(guān)于的常微分方程（13）其通解為（14）④寫出特解，并疊加出一般解為了求出原定解問題的解，我們將所有特解疊加起來，得（16）⑤利用初始條件確定疊加系數(shù)將(16)代入初始條件(3)，得（17）（18）利用分離變量法求解偏微分方程定解問題幾個(gè)

5、主要步驟：第一步，分離變量.這一步之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，前提條件是偏微分方程和邊界條件都是齊次的；第二步，求解本征值問題.這是求解定解問題的關(guān)鍵一步；第三步，求出全部特解，并疊加出一般解；第四步，利用初始條件確定疊加系數(shù).從整個(gè)運(yùn)算過程來看，用分離變量法求解定解問題的關(guān)鍵步驟是確定本征函數(shù)以及運(yùn)用疊加原理.級(jí)數(shù)解的物理意義（19）其中（20）弦的這種簡諧振動(dòng)模式稱為駐波.因此，整個(gè)定解問題的解就是一系列具有本征頻率的駐波的疊加，而分離變量法也稱為駐波法.2.兩端自由桿的縱振動(dòng)問題解：首先，將該物理問題

6、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，即列出定解問題其次，利用分離變量法來求解該定解問題.按照分離變量法的步驟，先以變量分離形式的試探解（24）代入泛定方程（21）和邊界條件（22），得(25)(26)條件（26）即為（27）由此分離出兩個(gè)常微分方程（28）（29）下面求解本征值問題（30）相應(yīng)的本征函數(shù)為（31）將本征值（30）代入方程（28），有（32）其解分別為（33）（34）于是，原定解問題變量分離形式的特解為（35）將所有特解疊加起來，就得到了定解問題的一般解最后，利用初始條件來確定疊加系數(shù).將一般解（36

7、）代入初始條件（23），得（37）將系數(shù)表達(dá)式（37）代入一般解（36）就得到了原定解問題的確定解.物理意義3.有限長桿上的熱傳導(dǎo)問題解：列出定解問題設(shè)變量分離形式的解為代入方程（38）和邊界條件（39），得到本征值問題（41）以及常微分方程（42）（43）相應(yīng)地，本征函數(shù)為（44）將本征值（43）代入（42），有（45）解之，得（46）于是，原定解問題的一般解為（47）最后，利用初始條件（40）確定疊加系數(shù).將一般解（47）代入初始條件（40），得（48）（49）于是，得到原定解問題的解（50

8、）4.矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題解：首先列出定解問題圖10.1.1我們?nèi)钥梢試L試?yán)梅蛛x變量法求解該定解問題.以變量分離形式的試探解代入齊次方程(51)和齊次邊界條件(52)，得到本征值問題（54）以及常微分方程（55）求解本征值問題（54），得本征值（56）和相應(yīng)的本征函數(shù)（57）將本征值（56）代入方程（55），解得（58）這樣，就求出了滿足齊次方程（51）和齊次邊界條件（52）的具有變量分離形式的特解利用疊加原理，將所有特解疊加起來，即得定解問題的一般解（59）將一般解（59）代入另一組邊界條件