數(shù)理方程-分離變量法ppt課件.ppt

《數(shù)理方程-分離變量法ppt課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第二章分離變量法齊次發(fā)展（演化）問(wèn)題的求解齊次穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的求解非齊次問(wèn)題的求解多變量推廣本章小結(jié)§2.1齊次發(fā)展方程的分離變量法一分離變量法簡(jiǎn)介研究?jī)啥斯潭ǖ睦硐胂业淖杂烧駝?dòng)，即定解問(wèn)題設(shè)代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得方程、邊界條件均齊次用遍除兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)記作------這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，且邊界條件也同樣進(jìn)行分離稱(chēng)為固有值（本征值）問(wèn)題特征根通解求方程的通解的步驟為：(1)寫(xiě)出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根據(jù)特征根

2、的情況按下表寫(xiě)出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程1、在λ<0時(shí)，方程的解是積分常數(shù)和由邊界條件確定由此解出=0,=0，從而2、λ=0時(shí)方程的解是則仍然解出3、λ>0的情況方程的解是只有才能保證，方程有非零解此時(shí)再看關(guān)于T的方程于是或稱(chēng)為固有值，稱(chēng)為固有函數(shù)這個(gè)方程的解分離變量的形式解(n=1,2,3,…)由疊加原理，一般解為：現(xiàn)在要求出疊加系數(shù)和滿(mǎn)足初始條件方程左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這就提示我們把右邊的展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，然后比較傅里葉系數(shù)，得，則可得原問(wèn)題的解：按上述公式計(jì)算出系數(shù)和注：該解

3、稱(chēng)為古典解，在求解中我們假設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的。如上的方法稱(chēng)為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)有效方法。下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題偏微分方程【解】桿上溫度滿(mǎn)足下列泛定方程和定解條件試探解代入方程和邊界條件得固有值問(wèn)題【例題1】研究細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題,初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度,另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為,試求無(wú)熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化。和常微分方程分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題經(jīng)討論知，僅時(shí)有非零解

4、，且只有由得由得于是得固有值和固有函數(shù)為由此得下面求解得由疊加原理，得確定系數(shù),由初值條件知于是如取，則從而下列問(wèn)題的解為圖形如下:(程序:my1)(a)精確解圖(b)瀑布圖§2.2穩(wěn)定場(chǎng)齊次問(wèn)題的分離變量法1矩形區(qū)域上拉普拉斯方程【例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊處于較高溫度，邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度,其他兩邊，溫度保持為零，求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布.【解】先寫(xiě)出定解問(wèn)題定解問(wèn)題方程齊次這組邊界條件齊次用分離變量法分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題設(shè)形式解為：代入上述泛定方程,得到得到固有

5、值問(wèn)題和常微分方程得固有值：固有函數(shù)：而于是有疊加得為確定疊加系數(shù)，將代入非齊次邊界條件將等式右邊展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù),并兩邊比較系數(shù)，得聯(lián)立求解得故原問(wèn)題的解為小結(jié)：對(duì)矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條件是齊次的，則可使用分離變量法求解。圖形如下：（程序：my2）(a)精確解圖(b)瀑布圖【例2】求解下列問(wèn)題特點(diǎn)：邊界條件均非齊次讓和分別滿(mǎn)足拉普拉斯方程,并各有一組齊次邊界條件，即則，而上面兩個(gè)定解問(wèn)題分別用例1的方法求解。稱(chēng)為定解問(wèn)題的分拆?！纠}3】帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)的，水平架設(shè)的輸

6、電線(xiàn)處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中，導(dǎo)線(xiàn)看成圓柱型，求導(dǎo)線(xiàn)外電場(chǎng)的電勢(shì)?！窘狻肯葘⑽锢韱?wèn)題表為定解問(wèn)題。取圓柱的軸為z軸，物理問(wèn)題與Z軸無(wú)關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓柱外的空間中沒(méi)有電荷，故滿(mǎn)足拉普拉斯方程（在柱外）可以看出，邊界條件無(wú)法分離變量，只能另辟蹊徑。在極坐標(biāo)下研究該問(wèn)題，在極坐標(biāo)下，上述問(wèn)題可表示成2圓形區(qū)域問(wèn)題設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為代入拉普拉斯方程，得令此條件是根據(jù)電學(xué)原理加上的移項(xiàng)、整理后得：分離為兩個(gè)常微分方程（自然邊界條件，附加）得固有值和固有函數(shù)為和固有值問(wèn)題解得將本征值代入常微分方程，得到歐拉型常

7、微分方程作代換則，方程化為：于是通解是解得即一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于零,意味著所有傅里葉系數(shù)為零,即：由此得：由條件得主要部分是項(xiàng),可見(jiàn)在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪，于是最后得柱外的靜電勢(shì)為：由知結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系，有習(xí)題6、8§2.3非齊次方程的求解設(shè)該問(wèn)題的解為：例1求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題（Ⅰ）我們已經(jīng)知道，對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為又設(shè)因已知，所以固有函數(shù)展開(kāi)法（又稱(chēng)傅立葉級(jí)數(shù)法）代入非齊次方程和初始條件得：用Laplace變換求解得：∴方法總結(jié)：將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題的固有函數(shù)展開(kāi)，其展開(kāi)系數(shù)為

8、另一變量的未知函數(shù)，代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。設(shè)：【解】對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題（Ⅱ）代入初始條件于是：當(dāng)時(shí)：的解為解釋推導(dǎo)：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為　　　　　　　，解得于是非齊次方程的通解為由定解條件得代入整理即得。故原問(wèn)題的解為解釋§2.4非齊次邊界條件問(wèn)題上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況。現(xiàn)在討論