《多元微積分基礎(chǔ)》PPT課件

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1、高等數(shù)學(xué)(下)1碩士研究生入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷分為四種:工學(xué):數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué):數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四數(shù)學(xué)一:高等數(shù)學(xué),線性代數(shù),概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學(xué)二:高等數(shù)學(xué),線性代數(shù)數(shù)學(xué)三:微積分,線性代數(shù),概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學(xué)四:微積分,線性代數(shù),概率論數(shù)學(xué)一內(nèi)容比例:高等數(shù)學(xué)約56%線性代數(shù)約22%概率論與數(shù)理統(tǒng)計約22%2第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分及其應(yīng)用第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法3第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一.區(qū)域稱為點(diǎn)的去心鄰域.若不需要

2、強(qiáng)調(diào)鄰域半徑用表示點(diǎn)的鄰域。1.鄰域:即稱為點(diǎn)的鄰域。設(shè)為面上一定點(diǎn),42.區(qū)域開集:若點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱點(diǎn)集為開集.邊界:邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界.是平面上一點(diǎn),若存在設(shè)是平面上一個點(diǎn)集,稱點(diǎn)為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn):顯然內(nèi)點(diǎn)例如是開集。的邊界是圓周:和邊界點(diǎn):稱為的邊界點(diǎn).若點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn),也有不屬于的點(diǎn),5連通:設(shè)是開集,若對內(nèi)任意兩點(diǎn),都可用包含于內(nèi)的折線連結(jié)起來,則稱是連通的。區(qū)域或開區(qū)域:連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域..為區(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起,閉區(qū)域:稱為閉區(qū)域。為閉區(qū)域。及D不連通開區(qū)域閉區(qū)域63.維空間有界的閉區(qū)域。例如,無界的開區(qū)域。有界點(diǎn)集

3、與無界點(diǎn)集:對于點(diǎn)集若使得與某一定點(diǎn)間的距離則稱為有界點(diǎn)集,否則稱為無界點(diǎn)集。有界的開區(qū)域。無界的閉區(qū)域。數(shù)軸上:點(diǎn)實(shí)數(shù)平面上:點(diǎn)空間中:點(diǎn)7設(shè)為取定的一個自然數(shù),的全體為維空間。稱元有序數(shù)組維空間:數(shù)稱為該點(diǎn)的第個坐標(biāo).維空間記為稱為維空間中的一個點(diǎn)。維空間中的兩點(diǎn)及間的距離為設(shè)維空間中點(diǎn)集則為點(diǎn)的鄰域。相應(yīng)的可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念。8二.多元函數(shù)的概念例如:圓柱體的體積長方體的體積類似可定義三元、四元函數(shù),二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).記為定義1設(shè)是平面上一點(diǎn)集,若對內(nèi)每一點(diǎn)變量按照一定法則總有確定的值與之對應(yīng),則稱是變量的二元函數(shù)(或點(diǎn)的函數(shù)),點(diǎn)集為其定義域

4、.為其自變量,也稱為因變量.?dāng)?shù)集稱為該函數(shù)的值域。(或)9例1.求下列函數(shù)的定義域:解(1)(3)(2)10二元函數(shù)的幾何意義:在幾何上表示空間曲面.如,平面;上半球面;旋轉(zhuǎn)拋物面;上半錐面;11三.多元函數(shù)的極限定義2若對當(dāng)時,恒有成立.記作或設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義,是的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。則稱常數(shù)當(dāng)時的極限,為二元函數(shù)的極限稱為二重極限。注:1、2二元函數(shù)的極限概念可以推廣到元函數(shù)(自己推)。12例2.設(shè)求證證對當(dāng)時,恒有成立,所以取要使分析:只要證對使得當(dāng)時,成立,13例3.證明證對成立.取所以當(dāng)時,14例4.討論是否存在?解極限值與有關(guān),當(dāng)點(diǎn)沿直線時,趨于點(diǎn)所以不存在.二重極限的

5、存在,時,函數(shù)值都接近于注:反之,當(dāng)以不同方式趨于時,函數(shù)值趨于不同的值,則函數(shù)的極限不存在。以任何方式趨于是指15例5.求極限解例6.求極限解注:多元函數(shù)的極限運(yùn)算,有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則。夾逼準(zhǔn)則,重要極限都可以應(yīng)用于多元函數(shù)的極限運(yùn)算。16四.多元函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù),則稱點(diǎn)為的間斷點(diǎn).則稱函數(shù)若函數(shù)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù),在區(qū)域在內(nèi)連續(xù),或稱內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。是定義3.若則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義,是的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn),且間斷點(diǎn)(1)無定義的點(diǎn)17例如,函數(shù)間斷點(diǎn)為:所以,點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)。再如,函數(shù)(孤立點(diǎn))(函數(shù)無定義的點(diǎn))(極限不存在)(曲線)18在有界閉

6、區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì):性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),一定能夠取得最大值和最小值。性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),一定能夠取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值。多元初等函數(shù)(能用一個式子表示的函數(shù))在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)。設(shè)函數(shù)為多元初等函數(shù),其定義域為且E為一區(qū)域或閉區(qū)域,則說明:定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。19例7.求下列極限:解20小結(jié):1.平面點(diǎn)集:鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、連通、區(qū)域(開區(qū)域)、閉區(qū)域、有界點(diǎn)集、無界點(diǎn)集、2.多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的定義3.二重極限的定義,計算4.二元函數(shù)的連續(xù)性定義、間斷點(diǎn)5.有界閉

7、區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)維空間21

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