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《分式型遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、一類分式型遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法2012年高考大綱全國(guó)卷考查了形如=遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.由于此類題不僅涉及到轉(zhuǎn)化和化歸數(shù)學(xué)思想，更要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，具有很強(qiáng)的綜合性，因而備受命題者的青睞.不少同仁也研究過(guò)此類問(wèn)題，如文,推導(dǎo)過(guò)程有點(diǎn)煩瑣.也用高等數(shù)學(xué)不動(dòng)點(diǎn)知識(shí)來(lái)求解,這種解法對(duì)高中生來(lái)說(shuō)很難接受.本文將從另外兩個(gè)角度談?wù)勌幚磉@類問(wèn)題的方法.一形如遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法不少高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程有此類問(wèn)題的解法，這里直接引用，不再推導(dǎo).結(jié)論1如果是遞推關(guān)系（給定）的特征方程的兩個(gè)根，則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，.這里,都是由初始值確
2、定的常數(shù).二形如=遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法為了研究問(wèn)題的一般性，這里.設(shè)，且初始值.方法1構(gòu)造法兩邊同減去,===.令,即,可看成是方程(1)的根.由于此時(shí)(假設(shè),代入方程,可得,與已知條件相矛盾.同理).所以方程(1)與方程(2)同解.此時(shí)不妨稱(2)為特征方程.結(jié)論2(1)當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等根(由初始值,可知方程的根不可能與相等)時(shí),,,兩式相除可得,,故是以首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.(2)當(dāng)時(shí)(由求根公式可得),=+,把代入,可得=,故是以首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.方法2轉(zhuǎn)化法==,令,有=,即.再令,有,兩邊同乘以,得到.
3、也就是說(shuō)通過(guò)兩次變換可轉(zhuǎn)化為類型1進(jìn)行求解.三例題例1已知數(shù)列滿足,求通項(xiàng)公式.解法1特征方程，得.=.兩邊取倒數(shù),有.故=.解得.法2令,代入原式化簡(jiǎn)有.再令,由,可設(shè).遞推關(guān)系可化為,即,由結(jié)論1求得,故,所以=.例2（2012高考全國(guó)卷）已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式.解法1特征方程為,解得,所以,,兩式相除有.而,所以有,解得法2令,代入原式化簡(jiǎn)有.再令,由,可設(shè),遞推關(guān)系可化為,即.由結(jié)論1求得=,故,所以.在解題過(guò)程中,筆者發(fā)現(xiàn)分式型遞推數(shù)列的特征方程如果有兩個(gè)不等的根,轉(zhuǎn)化后二階線性遞推數(shù)列的特征方程也有兩個(gè)不等的根.如
4、果分式型遞推數(shù)列的特征方程如果有兩個(gè)相等的根,轉(zhuǎn)化后二階線性遞推數(shù)列的特征方程也有兩個(gè)相等的根.這或許是這兩類遞推數(shù)列間一種很重要的關(guān)系.本文著重探究了分式型遞推數(shù)列與一般二階線性遞推數(shù)列間的內(nèi)在關(guān)系及求這類分式型遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的兩種方法.希望對(duì)此類問(wèn)題掌握不太好的學(xué)生有所幫助.參考文獻(xiàn)1牛志忠.一類分式型數(shù)列通項(xiàng)公式的一種求法.中學(xué)教研,2008(1)2中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本嚴(yán)軍主編長(zhǎng)春:吉林教育出版社,2011.8
