幾種分式型遞推數(shù)列的通項求法.doc

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1、幾種分式型遞推數(shù)列的通項求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中學，湖北宜昌443000)1.1引言數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，是高考的熱點，而遞推數(shù)列又是數(shù)列的重要內(nèi)容。數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學思想，遞推數(shù)列的通項問題也具有很強的邏輯性和一定的技巧性，因此此類問題也經(jīng)常滲透在高考試題和數(shù)學競賽中。本文對分式型遞推數(shù)列求通項問題作一些探求，希望對大家有所啟發(fā)。2.1基本概念設數(shù)列的首項為，且其中為常數(shù)，同時，我們稱這個遞推公式為分式遞推式，而數(shù)列稱為由分式遞推式給定的數(shù)列。顯然，該數(shù)列的遞推式也可寫成2.2遞推式的特征方程與特征根我們先來看一個引例

2、：首項為，由遞推式給定的數(shù)列的通項公式我們是會求的：即為常系數(shù)等比差數(shù)列（由遞推式給定的數(shù)列，其中為常數(shù)），該數(shù)列的通項是熟知的，為于是考慮能不能變型后讓②中的沒有，即讓①中的沒有。我們可以利用遞推式的特征方程來解決這個問題。下面給出特征方程推導過程：數(shù)列的遞推式為兩邊同時減去得通分后得令即方程③保留了原遞推式的特征，故稱為該遞推式的特征方程，為特征根。3.1例題（第一部分）下面我們通過幾個例題來說明特征方程的應用。兩式相除得故當方程③有兩不等實根時，可用此方法求出通項公式。兩邊同乘3得兩邊取倒數(shù)故當方程③有兩相等實根時，也可用此方法求出通

3、項公式。兩式相除得由此，當方程③有兩虛數(shù)根時，用此方法求通項公式也是正確的。3.2例題（第二部分）下面我們來看另一類型的分式遞推式。還要兩邊再取倒數(shù)還原，請讀者自己完成化簡令令下面的遞推請讀者自己完成4.1練習