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1、幾種分式型遞推數(shù)列的通項(xiàng)求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中學(xué)，湖北宜昌443000)1.1引言數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)，而遞推數(shù)列又是數(shù)列的重要內(nèi)容。數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題也具有很強(qiáng)的邏輯性和一定的技巧性，因此此類問題也經(jīng)常滲透在高考試題和數(shù)學(xué)競賽中。本文對分式型遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題作一些探求，希望對大家有所啟發(fā)。2.1基本概念設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，且an+1=α1an+β1α2an+β2n=1,2,?①其中αi、βii=1,2,?為常數(shù)，同時(shí)α2≠0,α1α2≠β1β2，我們稱這個(gè)遞推公式為分式遞推式，而數(shù)列{an}稱為由分式遞推式給
2、定的數(shù)列。顯然，該數(shù)列的遞推式也可寫成an+1an+αan+1+βan+γ=0n=1,2,?②2.2遞推式的特征方程與特征根我們先來看一個(gè)引例：首項(xiàng)為a1，由遞推式an+1an+αan+1+βan=0(n=1,2,?)給定的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式我們是會求的：an+1an+αan+1+βan=0∴1+αan+βan+1=0即1an+1=-αβan+1β為常系數(shù)等比差數(shù)列（由遞推式an+1=αan+β給定的數(shù)列，其中α、β為常數(shù)），該數(shù)列的通項(xiàng)是熟知的，為an=αn-1(a1-β1-α)+β1-α于是考慮能不能變型后讓②中的γ沒有，即讓①中的β1沒有。我們可以利用遞推式的特征方程來
3、解決這個(gè)問題。下面給出特征方程推導(dǎo)過程：數(shù)列的遞推式為an+1=α1an+β1α2an+β2兩邊同時(shí)減去x得an+1-x=α1an+β1α2an+β2-x通分后得an+1-x=(α1-xα2)an+β1-xβ2α2an+β2∴an+1-x=α1-xα2)(an-x+β1-xβ2+xα1-xα2α2(an-x)+β2+xα2令β1-xβ2+xα1-xα2=0即α1x+β1-xα2x+β2=0∴x=α1x+β1α2x+β2③方程③保留了原遞推式的特征，故稱為該遞推式的特征方程，x為特征根。3.1例題（第一部分）下面我們通過幾個(gè)例題來說明特征方程的應(yīng)用。[例1]在數(shù)列{an}中，a1=
4、4，且an+1=3an+2an+4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：特征方程x=3x+2x+4有兩個(gè)不等根：x1=1，x2=-2an+1-1=3an+2an+4-1=2an-2an+4an+1+2=3an+2an+4+2=5an+10an+4兩式相除得an+1-1an+1+2=2(an-1)5(an+2)由此可見，數(shù)列an-1an+2是以12為首項(xiàng)，25為公比的等比數(shù)列?！郺n-1an+2=25n-1·a1-1a1+2=25n-1·2∴an=2n-1+5n-15n-1-2n-2n=1,2,?故當(dāng)方程③有兩不等實(shí)根時(shí)，可用此方法求出通項(xiàng)公式。[例2]在數(shù)列{an}中，a1=3，且an
5、+1=2an-19an+8，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：特征方程x=2x-19x+8有兩個(gè)重根：x1=x2=-13an+1+13=2an-19an+8+13=5(3an+1)3(9an+8)兩邊同乘3得3an+1+1=5(3an+1)9an+8=5(3an+1)3(3an+1)+5兩邊取倒數(shù)13an+1+1=35+13an+1∴13an+1=35n-1+13a1+1=6n-510∴an=5-2n6n-5n=1,2,?故當(dāng)方程③有兩相等實(shí)根時(shí)，也可用此方法求出通項(xiàng)公式。[例3]在數(shù)列{an}中，a1=3，且an+1=22-an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：特征方程x=22-x有
6、兩個(gè)虛數(shù)根：x1=1+i，x2=1-ian+1-1+i=22-an-1+i=1+ian-2i2-an=(1+i)·an-(1+i)2-anan+1-1-i=22-an-(1-i)=1-ian+2i2-an=(1-i)·an-(1-i)2-an兩式相除得an+1-1+ian+1-1-i=1+i1-i·an-1+ian-1-i∴an-1+ian-1-i=1+i1-in-1·a1-1+ia1-1-i=in-1·2-i2+i∴an=1+3i-in-1+3·in2+i-2·in-1+inn=1,2,?由此，當(dāng)方程③有兩虛數(shù)根時(shí)，用此方法求通項(xiàng)公式也是正確的。3.2例題（第二部分）下面我們來
7、看另一類型的分式遞推式。[例4]在數(shù)列{an}中，a1=a1，且an+1=an22an+a，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：兩邊取倒數(shù)有：1an+1=2an+aan2=2an+aan2=a1an2+2·1a·1an1an+1+1a=a1an2+2·1a·1an+1a21an+1+1a=a1an+1a21an+1a=a1an-1+1a2=?=a2n-1-11a1+1a2n-1∴1an=a2n-1-11a1+1a2n-1-1an=1,2,?還要兩邊再取倒數(shù)還原，請讀者自己完成化簡[例5
