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1、第四節(jié)反常積分一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界解決許多實際問題要求我們將函數(shù)f(x)從有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間,將有界函數(shù)推廣到無界函數(shù).從而得到兩種反常積分(也稱廣義積分).一、無窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為yox定義1.設若存在,則稱此極限為f(x)的無窮限反常積分,記作這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:上述定義
2、中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:例1.計算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質,否則會出現(xiàn)錯誤.例2.討論反常積分解:當p=1時有當p≠1時有的斂散性.因此,當p>1時,反常積分收斂,其值為當p≤1時,反常積分發(fā)散.例3.計算反常積分解:二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為yox定義2.設而在點a的右鄰域內無界,存在,這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內無
3、界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類說明:而在點c的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點常稱鄰域內無界,為瑕點(奇點).例如,間斷點,而不是反常積分.則本質上是常義積分,則定義注意:若瑕點的計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若b為瑕點,則若a為瑕點,則若a,b都為瑕點,則則可相消嗎?設F(x)是f(x)的原函數(shù),所以點a為被積函數(shù)的瑕點?解例4解例5例6.證明反常積分證:當q=1時,當q<1時收斂;q≥1時發(fā)散.當q≠1時所以當q<1時,該廣義積分收斂,其值為當q≥1時,該廣義積分
4、發(fā)散.內容小結1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限2.兩個重要的反常積分作業(yè)：p-260習題5-41(4),(5),(6),(9),(10);2
