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1、*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量積向量積*混合積第七章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為?,稱(chēng)記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F所做的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.
2、已知三點(diǎn)?AMB.解:則求故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為?).求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.設(shè)均勻流速為的流體流過(guò)一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的體積的夾角為且為單位向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F作用在杠桿上的力機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,??稱(chēng)引例中的力矩思考:右圖三角形面積S＝機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3
3、)結(jié)合律(證明略)證明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見(jiàn)P339～P342)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.已知三點(diǎn)角形ABC的面積解:如圖所示,求三機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一點(diǎn)M的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度?繞l軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:在軸l上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為?,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱(chēng)數(shù)量混合積.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其機(jī)
4、動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱(chēng)性:(可用三階行列式推出)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.證明四點(diǎn)共面.解:因故A,B,C,D四點(diǎn)共面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束混合積:2.向量關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角?的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)
5、束證:由三角形面積公式所以因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.已知向量的夾角且解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在頂點(diǎn)為三角形中,求AC邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束
