《高數(shù)競賽輔導(dǎo)》PPT課件

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1、(一）函數(shù)♀利用已知條件，求函數(shù)的表達(dá)式★第一講：函數(shù)、極限和連續(xù)例1（04年江蘇省競賽題）簡答因奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在上有定義，在區(qū)間上，，若對(duì)任意的都滿足，（1）寫出在表達(dá)式；在處，是否可導(dǎo)？（2）判斷上的練習(xí)題（94年北京市競賽題）簡答例2（91年北京市競賽題）設(shè)是可導(dǎo)的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，有，且，求的表達(dá)式。求滿足方程的表達(dá)式，其中，為任意實(shí)數(shù)，且已知。簡答課下練習(xí)（2010年校競賽）例3設(shè)，求，，，。，簡答♀函數(shù)的某些性質(zhì)：有界性、周期性、奇偶性以及單調(diào)性判斷函數(shù)在內(nèi)有界：常利用在內(nèi)連續(xù)，且，存在，則有界。有界性例4A奇偶性單調(diào)性周期性★(二）極限

2、♀補(bǔ)充重要的結(jié)論例5（06考研）提示♀求極限的幾種重要方法1、利用四則運(yùn)算法則例6（98北京市競賽題，10天津市競賽題）提示練習(xí)（93南京大學(xué)競賽題）提示思考題（98江蘇省競賽題）答案1例7（00北京市競賽題）2、利用兩個(gè)重要極限公式例8例9（02考研）設(shè)常數(shù)，則____________簡答簡答例10（09年全國競賽題），其中是給定的正整數(shù)。簡答思考題（95南京大學(xué)競賽題）答案e23、利用等價(jià)無窮小代換簡化計(jì)算例11簡答常用的等價(jià)無窮小注意：作為加減項(xiàng)的無窮小量不能隨意用等價(jià)無窮小代換例12（國外高校競賽題）簡答（04年考研題）例13簡答4、利用洛必達(dá)法則（2）等價(jià)無窮小代換（3）

3、求極限的式子中，含有極限存在且不為0的因式，應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則，應(yīng)及時(shí)將它的極限拿到極限符號(hào)外（1）先考慮對(duì)求極限的式子進(jìn)行代數(shù)或三角變形，再考慮結(jié)合（2）和（3）應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，常需要與下列方法相結(jié)合，以簡化計(jì)算思考題答案e2例15（08考研）求極限例14(97考研)求極限簡答簡答5、利用夾逼準(zhǔn)則例16：設(shè)為正數(shù)，求思考題：1.設(shè)則(08考研）答案：1簡答6、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則例18：（06年考研題）設(shè)數(shù)列滿足（1）證明：存在，并求該極限；（2）計(jì)算（1）用歸納法證明單調(diào)下降且有下界（2）用重要極限和洛必達(dá)法則提示證明極限存在并求極限，，，…….例17:例20（04天津市競賽

4、）練習(xí)：（10天津市試題）設(shè)，，證明：存在并求其值。例19（00北京市競賽題）練習(xí)題：（88北京市競賽題）設(shè)求證存在，并求其值7、利用極限的定義求極限例21：（08江蘇省競賽題）設(shè)求證存在，并求其值8、利用泰勒公式（復(fù)習(xí)公式及展到哪一項(xiàng)的確定）練習(xí)：思考題：（國外高校競賽題）特點(diǎn)：用洛必達(dá)法則較復(fù)雜時(shí)，或者根本不可能用關(guān)鍵：展開到含xn項(xiàng)，或者不相互抵消的那一項(xiàng)止要熟記常用的展開式例23：例22(10年天津市)9、利用中值定理例24：練習(xí)題：思考題：例25：答案2答案ln210、利用導(dǎo)數(shù)的定義例27（96南京大學(xué)競賽題）例26：11、利用連續(xù)的定義練習(xí)題設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，且，求。答案2

5、12、利用定積分的定義（略講）例28：求練習(xí)：求例29：求練習(xí)：求（09天津市競賽）14、利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系求極限練習(xí)題：（99年北京市競賽）例31：求15、利用左、右極限練習(xí)題例32(08江蘇省競賽題)13、利用定積分性質(zhì)和積分中值定理（略講）例30：（93北京市競賽）練習(xí)題（00北京市競賽）________16、要注意變量代換的應(yīng)用17、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件（11章）（略）♀無窮小階的比較例33：（01考研）設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數(shù)等于（）例34（08江蘇省競賽題）思考題（03天津市競賽題）D♀已知極限，來確定未知的東西例35：（08考研

6、）已知連續(xù)，且，則__________例36：（06考研）試確定值，使得其中是當(dāng)時(shí)，比高階的無窮小。例37：（01考研）已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，，求的值。答案2答案1/2設(shè),若則a,b的值.（11天津）-2,-4例38：（94考研），其中，則必有（）例39：設(shè)在的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且求，，及D設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.11天津市競賽題思考題：(三）連續(xù)♀判定函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性例40：（03考研）設(shè)函數(shù)問：a為何值時(shí)，在處連續(xù)，a為何值時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)。例41：設(shè)連續(xù)，求a,b.♀函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型（找的方法及類型的判別）第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱

7、若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).例43：（01考研）求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。例44：（07考研）函數(shù)在上第一類間斷點(diǎn)是x=()(A)0(B)1(C)(D)例42♀關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明題（放到中值定理部分）