《理學(xué)高數(shù)輔導(dǎo)》ppt課件

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1、高數(shù)輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)積分級(jí)數(shù)Ⅰ.函數(shù)與極限一.函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系,定義域,值域,初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),反函數(shù)例1y=定義域:x≥0值域:0≤y<1反函數(shù):x=-ln(1-y2),0≤y<1例2f(x)=,g(x)=x2+1f--1(x)=f(x)f(g(x))=,g(f(x))=函數(shù)的特性1°有界性上界f(x)≤M下界f(x)≥M有界∣f(x)∣≤M2°單調(diào)性3°奇偶性4°周期性二.極限1.定義數(shù)列的極限ε—N函數(shù)的極限ε—X(x→-∞,x→∞),ε—δ左極限,右極限2.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量:limα(x)=0無(wú)窮大量:極限不存在的一種情況X(x)是無(wú)窮大量當(dāng)且僅當(dāng)1/X(

2、x)是無(wú)窮小量limf(x)=A當(dāng)且僅當(dāng)α(x)=f(x)-A是無(wú)窮小量無(wú)窮小量的比較:高階無(wú)窮小β=o(α):低階無(wú)窮小:同階無(wú)窮小:等價(jià)無(wú)窮小:例3當(dāng)x→0時(shí),x,sinx,1-cosx,ex-1,ln(1+x)都是無(wú)窮小sinx~xex-1~x3.兩個(gè)重要極限4.性質(zhì)1°數(shù)列收斂必有界2°如果limf(x)=A,limg(x)=B,則lim(f(x)+g(x))=A+B,lim(f(x)-g(x))=A-B,lim(f(x)g(x))=AB,lim(f(x)/g(x))=A/B,B≠0如果且在x0的某個(gè)鄰域0<∣x-x0∣<δ內(nèi)g(x)≠a,則3°收斂準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則如果yn≤x

3、n≤zn(n=1,2,…)且，則單調(diào)有界數(shù)列必有極限三.連續(xù)性和間斷點(diǎn)1.連續(xù)性1°在x0處連續(xù)左連續(xù),右連續(xù)2°初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)3°閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)①必取到最大值和最小值推論:必有界②介值定理2.間斷點(diǎn)3種情況1°f(x0)沒(méi)有定義2°不存在3°第一類間斷點(diǎn):左,右極限存在可去間斷點(diǎn):存在,但≠f(x0)(含f(x0)沒(méi)有定義)例x=0是第一類間斷點(diǎn)x=0是可去間斷點(diǎn)令第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn),在x=0處震蕩間斷點(diǎn),在x=0處Ⅱ.導(dǎo)數(shù)一.定義1.導(dǎo)數(shù),2.高階導(dǎo)數(shù),可導(dǎo)必連續(xù),反之不真.例如,y=∣x∣,在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).二.導(dǎo)數(shù)計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2.和、

4、差、積、商的求導(dǎo)公式3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)y=f(u),u=g(x),y=F(x)=f(g(x)),則4.反函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)y=f(u)的反函數(shù)x=g(y)則5．隱函數(shù)求導(dǎo)設(shè)y=y(x)由F(x,y)=0確定，例ey+xy=1解eyy′+y+xy′=0y′=6.參數(shù)方程求導(dǎo)例1.(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx2.3.(sin2x)′=2cos2x4.(e-x)′=-ex例2設(shè)xy=ex+y,求解y+xy′=ex+y(1+y′)y′=例3設(shè)求,解三.微分dy=Δy的線性主部:Δy=AΔx+o(Δx),A=微分形式不變性dy=四.中值定理與泰勒公式1.羅爾定理設(shè)f(x)在

5、[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),則存在a<ξ

6、線方程2.洛必達(dá)法則型,型的極限例3.函數(shù)的單調(diào)性蘊(yùn)涵f(x)單調(diào)增加蘊(yùn)涵f(x)單調(diào)減少但反過(guò)來(lái)可能=例證明：當(dāng)x>0時(shí)，證一令f(0)=0,故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>f(0)=0,即證二取f(x)=4.曲線的凹凸與拐點(diǎn)凹的:切線斜率單調(diào)增加凸的:切線斜率單調(diào)減少蘊(yùn)涵凸的蘊(yùn)涵凹的拐點(diǎn):凸凹的分界點(diǎn)拐點(diǎn)的必要條件:5.極值極大值:存在δ>0,對(duì)所有的0<∣x-x0∣<δ,都有f(x)0,對(duì)所有的0<∣x-x0∣<δ,都有f(x)>f(x0)必要條件:設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，若x0是極值點(diǎn),則,即x0是駐點(diǎn).充分條件1且在x0的兩邊異號(hào),則x0是極值點(diǎn).當(dāng)x

7、從左到右通過(guò)x0時(shí),由正變負(fù),則x0是極大值點(diǎn);由負(fù)變正,則x0是極小值點(diǎn)充分條件2若且,則x0是極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),x0是極大值點(diǎn).當(dāng)時(shí),x0是極小值點(diǎn).6.最大值與最小值在[a,b]上取到最大值、最小值的可能點(diǎn):駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn),邊界點(diǎn)7.漸近線水平漸近線:漸近線y=A垂直漸近線:漸近線y=x0斜漸近線:y=ax+b,其中Ⅲ.積分一.不定積分1.概念原函數(shù):不定積分:原函數(shù)的全體2.性質(zhì)3.基本積分公式4.換元積分法第一類換元積分法(湊微分法)設(shè)則例第二類換元積分法例5.