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1、題目最小淋雨量問題摘要本模型是研究生活中人在雨中行走時淋雨量的問題。人在雨中行走過程較為復(fù)雜，但我們可以通過忽略行走中身體的上下浮動及雙臂與腿部的擺動來將人體行走的運(yùn)動簡化為一個較為規(guī)則的四棱柱的運(yùn)動。也就是將人簡化為一個規(guī)則的，僅有長、寬、高的一個長方體，建立模型。本題中廣泛采用了微分方程模型，通過將人分為幾個平面，分別求得各個平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。對于上表面，均采用降雨量與時間的微分（即單位時間內(nèi)所接受的雨水量）建立關(guān)系，再通過求積分而得出問題所求解的函數(shù)關(guān)系式。而對于與雨水接觸的側(cè)面，我們采用了化歸的思想，將
2、人與雨水接觸的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是說化歸為了一個求平面接觸雨水的問題，與上表面所采用的方法相同，同樣以降雨量與時間的微分建立微分方程，求解函數(shù)關(guān)系式。而對于較為復(fù)雜的第三問，我們以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度與雨的速度相同的三種情況討論，并分別求解，也就是說同樣化歸為了一個求平面與求側(cè)面淋雨量的情況。然后根據(jù)所得函數(shù)式，借助數(shù)學(xué)工具M(jìn)ATLAB求得所需函數(shù)圖形。第五問同樣采用歸元法，建立空間坐標(biāo)軸，分解雨水為三個雨人的側(cè)面平行的方向，在分別求解即可。本題廣泛采用了化歸思想，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決
3、問題，將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單問題，結(jié)合微分方程模型，使得原本較為復(fù)雜的問題顯得簡單，易懂。模型基本解決了現(xiàn)實(shí)中淋雨量的問題。而本模型的實(shí)際意義又不僅僅局限于現(xiàn)實(shí)中的淋雨問題，降雨同樣可以與氣流相類比，因此本模型有極大地現(xiàn)實(shí)意義，可廣泛拓展到工業(yè)、生產(chǎn)、生活領(lǐng)域?？捎糜谟?jì)算以一定速度運(yùn)動地機(jī)械承受的氣流量，同樣可用于計(jì)算建筑所承受的氣流量……關(guān)鍵詞：長方體淋雨量微分方程模型matlab化歸思想1問題重述在人行進(jìn)在雨中時，淋雨量和人行進(jìn)速度之間是怎樣的關(guān)系。為了研究這個問題，假設(shè)一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數(shù)且方向不變，但
4、是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化為一個長方體，高=1.5m(頸部以下)，寬=0.5m，厚=0.2m，設(shè)跑步距離=1000m,跑步最大速度為=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2cm/h，記跑步速度為,按以下步驟進(jìn)行討論：（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù),,,,,，之間的關(guān)系，問速度v為多大，總淋雨量最少。計(jì)算=0,=300時的總淋雨
5、量。（3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α，如圖2。建立總淋雨量與速度及參數(shù),,,,,,之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算＝300時的淋雨量。（4）以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化。圖1圖2圖12基本假設(shè)（1）假設(shè)降雨面積相對地球面積較小，降雨地區(qū)的地面是平面。（2）假設(shè)降雨時，雨水基本是均勻分布在空間中的。（3）假設(shè)人在行進(jìn)過程中是沒有上下浮動的。（4）假設(shè)人在行進(jìn)過程中不是一步一步間斷地
6、行進(jìn)的而是均勻行進(jìn)的。3符號說明符號說明：1)雨中人的身高2)雨中人的寬度3)雨中人的厚度4)人奔跑的距離5)雨的速度111)雨與人之間的夾角2)問題（1）中矢量加和后雨水與人的夾角3)雨水從背后下落與人行速度矢量作和后的夾角4)問題（3）中雨水與人的夾角5)問題2中雨水速度與人行速度矢量加和后雨與人所成的角度6)人奔跑的速度7)人奔跑的最大速度8)每秒鐘每平方米接受的雨水厚度9)空間中每立方米雨水的含量10)人的上表面積11)人的側(cè)面積12)上表面接受的雨量13)側(cè)面接受的雨量14)人接受的總的雨量15)問題一種陰影部分的面積16)問
7、題（3）第一個模型中陰影部分的面積17)問題（3）第二個模型中陰影部分的面積18)問題（2）中陰影部分的面積19)常數(shù)4模型建立與求解4.1模型14.1.1模型分析人運(yùn)動的速度決定了上表面暴露在雨中11得時間，也就間接影響了人的總的淋雨量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只與走過的路程有關(guān)。所以速度愈大，淋雨量愈小，這是個最優(yōu)解問題?？疾祛}干，這是一個實(shí)際對象的特性隨時間變化的過程，由此可用微分方程模型求解。4.1.2模型建立在微分方程中，上表面所淋雨對時間的導(dǎo)數(shù)即為單位時間內(nèi)上表面所接受雨量，即得微分方程而在本題中，所以要求得淋雨
8、量與速度的關(guān)系只需進(jìn)行函數(shù)積分。又由分析可知側(cè)面所受雨量為一常數(shù)。所以僅需在方程后加上即可。即為前表面淋雨量，對于的求解，可以建立兩種模型，（1）將雨水看做是均勻地分布在空間中的，單位體積內(nèi)的雨量根據(jù)降雨量
