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1、淋雨量建模問題摘要生活中，我們常常遇到過這樣的問題，我們走在路上，突然下起雨來，而目的地離我們并不遠(yuǎn)，我們并不準(zhǔn)備避雨。所以我們就遇到一個問題，到底應(yīng)該怎么走才能減少淋雨量呢？在平常情況下，大多數(shù)人都會奔跑前行。但是，這樣真的能夠減少淋雨量嗎?1.問題敘述一個雨天，你有件急事需要從家中要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家僅1000米，而且情況緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。如果剛剛出發(fā)雨就下起來了，但你不打算再回去了，一路上，你將被雨水淋濕。一個似乎很簡單事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨時間和淋雨量。事實(shí)是不是如此呢？試組建
2、數(shù)學(xué)建模來探討雨中行走的策略，以盡量減少淋雨量。二、問題分析淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。主要影響因素：降雨的大小，降雨的方向，路程的遠(yuǎn)近，行走的速度三.模型假設(shè)即符號說明1.將人體簡化成一個長方體，高a，寬b，厚c淋雨量（V）降雨量（ω）人體淋雨面積（S）淋浴時間（t）時間（t）跑步距離（d）人跑步速度（v）跑步最大速度（vm）雨速（u）2.假設(shè)降雨大小為一定值；3.速度一定，人的運(yùn)動軌跡為直線：4.風(fēng)速保持不變四．模型建立與求解：（一）設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身
3、，則淋雨面積：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時間為：t=d/v總降雨量：V＝ω×S×d/v（二）.若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量.（如圖1）設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為.，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系，取高a=1.5m，寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為且方向與v相反故人相對于雨的水平速度為：則前部單位
4、時間單位面積淋雨量為：又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：，時間為：d/v于是前部淋雨量V2為：即：①（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與v無關(guān)，所以頂部單位時間單位面積淋雨量為，頂部面積為，淋雨時間為，于是頂部淋雨量為：②由①②可算得總淋雨量:代入數(shù)據(jù)求得：由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。對函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得：顯然：<0，所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=vm=5m/s，總淋雨量最小。（三）若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α則
5、淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2）設(shè)雨從背部吹來時與人體夾角為，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量V1，它與模型①中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為：從而可得，人背部單位時間單位面積淋雨量為：可得人背部淋雨量為：而總淋雨量：V=V1＋V3從而有：③化簡③式得：④代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得：⑤由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（Ⅰ）、當(dāng)時，且0°＜﹤90°
6、，可得：ccosα＋asinα>0對⑤式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，因此，總淋雨量最小。（Ⅱ）、當(dāng)v>usinα?xí)r，且0°＜α﹤90°，對⑤式求導(dǎo)，解得：總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=usinα總淋雨量最小。五、結(jié)果分析：1.如果雨是迎著你的前進(jìn)方向向你落下，這時的策略很簡單，應(yīng)該以最大的速度向前跑。2.如果雨是從你的背后落下，這時你應(yīng)該控制你在雨中的行走速度，讓他剛好等于落雨速度的水平分速度。
