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《數(shù)模-隨機(jī)模擬-蒙特卡羅方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、隨機(jī)模擬—蒙特卡羅方法(MonteCarlo)蒙特卡羅(MonteCarlo)方法蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法的收斂性，誤差蒙特卡羅方法的特點(diǎn)蒙特卡羅方法的主要應(yīng)用范圍隨機(jī)模擬—MonteCarlo方法隨機(jī)模擬又稱為MonteCarlo方法，是一種采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似地求解數(shù)學(xué)問(wèn)題或物理問(wèn)題的方法。首先建立與描述該問(wèn)題有相似性的概率模型。利用這種相似性把概率模型的某些特征（如隨機(jī)事件的概率或隨機(jī)變量的平均值等）與問(wèn)題的解答（如積分值等）聯(lián)系起來(lái)，然后對(duì)模型進(jìn)行隨機(jī)模擬統(tǒng)計(jì)抽樣，再利用所得的結(jié)果求出這些
2、特征的統(tǒng)計(jì)估計(jì)值作為原來(lái)的分析問(wèn)題的近似解?；纠碚撘罁?jù)：大數(shù)定律。1.蒙特卡羅方法概述由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，這種方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來(lái)，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計(jì)算方法，但與一般數(shù)值計(jì)算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問(wèn)題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。蒙特卡羅方法的基本思想兩個(gè)例子例1.蒲豐氏(Buffon)問(wèn)題例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）基本
3、思想計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程例1.蒲豐氏問(wèn)題為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式：求出π值其中Ｎ為投針次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問(wèn)題。一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(
4、Lazzarini)190134083.1415929例1.蒲豐氏問(wèn)題例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它反映運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。則該運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?yōu)橛酶怕收Z(yǔ)言來(lái)說(shuō)，是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)。其算術(shù)平均值為代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。換言之，為積分的估計(jì)值，或
5、近似值。在該例中，用Ｎ次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值（積分近似值）?；舅枷氘?dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值（抽樣）并計(jì)算，通過(guò)它得到問(wèn)題的解。蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望通過(guò)某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r1，r2，…，rN（用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，從分布密度函數(shù)f(r)中抽
6、?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計(jì)值（近似值）。為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過(guò)人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過(guò)電子計(jì)算機(jī)來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)過(guò)程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用?；舅枷搿獙?shí)現(xiàn)方式計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程的具體實(shí)現(xiàn)例1.蒲豐氏問(wèn)題例2.射擊問(wèn)題（打靶
7、游戲）注：蒙特卡羅方法常以一個(gè)“概率模型”為基礎(chǔ)，按照它所描述的過(guò)程，使用由已知分布抽樣的方法，得到部分試驗(yàn)結(jié)果的觀察值，求得問(wèn)題的近似解。例１．蒲豐氏問(wèn)題設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來(lái)描述，x為針中心距x軸的距離，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是針在平行線間的位置如何產(chǎn)生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均勻分布的，其分布密度函
8、數(shù)為：θ的分布密度函數(shù)為：因此，產(chǎn)生任意的（x,θ）的過(guò)程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2(θ)抽樣θ的過(guò)程了。由此得到：其中ξ1，ξ2均為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量。每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,θ），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,θ)，為如果投針Ｎ次，則是針與平行線相交概率Ｐ的估計(jì)值。理論上，于是有例２．射擊問(wèn)題設(shè)射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)分布為用計(jì)
