蒙特卡羅模擬方法

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1、MonteCarloSimulationMethods(蒙特卡羅模擬方法)主要內(nèi)容:1.各種隨機(jī)數(shù)的生成方法.2.MCMC方法.1從Buffon投針問(wèn)題談起2Buffon投針問(wèn)題3試驗(yàn)者時(shí)間(年)針長(zhǎng)投針次數(shù)相交次數(shù)π的估計(jì)值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.141592924數(shù)值積分問(wèn)題5MonteCarlo數(shù)值積分的優(yōu)點(diǎn)與一般的數(shù)值積分方法比較，MonteCarlo方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：6隨機(jī)模擬計(jì)算

2、的基本思路1.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立一個(gè)簡(jiǎn)單且便于實(shí)現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)模型，使所求的量（或解）恰好是該模型某個(gè)指標(biāo)的概率分布或者數(shù)字特征。2.對(duì)模型中的隨機(jī)變量建立抽樣方法，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬測(cè)試，抽取足夠多的隨機(jī)數(shù)，對(duì)有關(guān)事件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)3.對(duì)模擬試驗(yàn)結(jié)果加以分析，給出所求解的估計(jì)及其精度(方差)的估計(jì)4.必要時(shí)，還應(yīng)改進(jìn)模型以降低估計(jì)方差和減少試驗(yàn)費(fèi)用，提高模擬計(jì)算的效率7隨機(jī)數(shù)的生成1.蒙特卡羅模擬的關(guān)鍵是生成優(yōu)良的隨機(jī)數(shù)。2.在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中,我們是通過(guò)確定性的算法生成隨機(jī)數(shù),所以這樣生成的序列在本質(zhì)上不是隨機(jī)的,只是很好的模仿了隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)(如可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn))。我們通常稱(chēng)之為偽隨機(jī)數(shù)(

3、pseudo-randomnumbers)。3.在模擬中，我們需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)，而大多數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生均基于均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。8U(0,1)隨機(jī)數(shù)的生成一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)數(shù)生成器：9一個(gè)簡(jiǎn)單的例子10一個(gè)簡(jiǎn)單的例子(續(xù))上面的例子中，第一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成器的周期長(zhǎng)度是10，而后兩個(gè)生成器的周期長(zhǎng)度只有它的一半。我們自然希望生成器的周期越長(zhǎng)越好，這樣我們得到的分布就更接近于真實(shí)的均勻分布。11線(xiàn)性同余生成器(LinearCongruentialGenerator)12常用的線(xiàn)性同余生成器ModulusmMultiplieraReference2^31-1=21

4、4748364716807Lewis,Goodman,andMiller39373L’Ecuyer742938285FishmanandMoore950706376FishmanandMoore1226874159FishmanandMoore214748339940692L’Ecuyer214748356340014L’Ecuyer13復(fù)雜一些的生成器（一）1.CombiningGenerators:14復(fù)雜一些的生成器（二）2.Multiplerecursivegenerator15算法實(shí)現(xiàn)許多程序語(yǔ)言中都自帶生成隨機(jī)數(shù)的方法，如c中的random()函數(shù)，Matlab中的r

5、and()函數(shù)等。但這些生成器生成的隨機(jī)數(shù)效果很不一樣，比如c中的函數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)性質(zhì)就比較差，如果用c，最好自己再編一個(gè)程序。Matlab中的rand()函數(shù)，經(jīng)過(guò)了很多優(yōu)化?？梢援a(chǎn)生性質(zhì)很好的隨機(jī)數(shù)，可以直接利用。16由rand()函數(shù)生成的U[0,1]隨機(jī)數(shù)17由rand函數(shù)生成的2維隨機(jī)點(diǎn)18從U(0,1)到其它概率分布的隨機(jī)數(shù)U(0,1)的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，是生成其他概率分布隨機(jī)數(shù)的基礎(chǔ)，下面我們主要介紹兩種將U(0,1)隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換為其他分布的隨機(jī)數(shù)的方法。1.逆變換方法(InverseTransformMethod)2.舍取方法(Acceptance-Rejectio

6、nMethod)19InverseTransformMethod20InverseTransformMethod21幾個(gè)具體例子（一）22幾個(gè)具體例子（二）23幾個(gè)具體例子（三）24標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，在此我們著重討論如何生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。引理：25Box-Muller算法26逆變換方法（一）我們無(wú)法通過(guò)具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)，我們必須通過(guò)數(shù)值的方法逼近正態(tài)函數(shù)下面我們介紹Beasley-Springer-Moro方法。27逆變換方法（二）28逆變換方法（三）a0=2.50662823884b0=-8.47351093

7、090a1=-18.61500062529b1=23.08336743743a2=41.39119773534b2=-21.06224101826a3=-25.44106049637b3=3.13082909833c0=0.3374754822726147c5=0.0003951896511919c1=0.9761690190917186c6=0.0000321767881768c2=0.1607979714918209c7=0.0000002888167364c3=0.0276