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《微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用42洛必達(dá)法則》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))4.2洛必達(dá)(L’Hospital)法則在求一些特殊類型的極限時,其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性,我們稱這些類型的極限為不定式.如:f(x)?0,g(x)?0,稱極限,為型;f(x)??,g(x)??,稱極限,為型;f(x)?0,g(x)??,稱極限limf(x)?g(x),為0??型;f(x)??,g(x)??,稱極限lim(f(x)?g(x)),為???型;f(x)?0,g(x)?0,稱極限lim(f(x))g(x)稱為00型;f(x)??,g(x)?0,稱極限lim(f(x))g(x)為?0型;f(x)?1,g(x)??,稱極限lim(f(x))g(x)為1?型.《高
2、等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))4.2.1關(guān)于型及型不定式的洛必達(dá)法則定理4-4(L’Hospital洛必達(dá)法則)如果f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)在x0的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g?(x)?0;則《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))證明補充定義f(x0)=g(x0)=0,則f(x),g(x)在區(qū)間[x,x0]和[x0,x]上滿足Cauchy中值定理的條件,由Cauchy定理,在x0,x之間存在?,使得令x?x0,必有??x0,從而注1將條件(2)換為定理的結(jié)論仍然成立.《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))注2對于和型的極限,當(dāng)極限過程為x0?,x?x0+,x??,x???,x?+?,定理的結(jié)論仍然
3、成立.注3當(dāng)極限不存在時,不能斷定極限不存在,需用其他方法討論極限.注4對于和型數(shù)列極限不能直接應(yīng)用羅必達(dá)法則.《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例1求解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例2求解對指數(shù)函數(shù)ax(a>1),冪函數(shù)x?(?>0)和對數(shù)函數(shù)(logbx)?(b>1,?>0),當(dāng)x?+?時,它們都趨于正無窮,例2表明,指數(shù)函數(shù)是比冪函數(shù)高階的無窮大,同樣,冪函數(shù)是比對數(shù)函數(shù)高階的無窮大.《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例3求解這是型的極限,但極限不存在,所以不能使用羅必達(dá)法則.但可用其它方法求極限.其中第一個等式使用等價無窮小替換,第二個等式應(yīng)用無窮小量與有界變量的乘積.《高等數(shù)學(xué)》課件
4、(第四章第二節(jié))例4求解注當(dāng)分子或分母的某個因子的極限存在且不為零,則可將其單獨求出.《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例5求解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例6求解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))4.2.2其他類型的不定式0??型不定式,可通過以下方式轉(zhuǎn)化為或型不定式,《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))解例7求《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例8求解注將0??型極限轉(zhuǎn)換為或型極限求解時,要根據(jù)具體情況來確定,避免將問題弄復(fù)雜,甚至無法解出．《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))???型的不定式通?？山?jīng)過通分轉(zhuǎn)換為型不定式.例9求解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))對于00,?0,1?型的不定式,可通過
5、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為0??的極限,00?e0ln0,?0?e0ln?,1??e?ln1.例10求解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))所以其中《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例11求解其中所以《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例12解《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))其中所以《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))函數(shù)漸近線討論.若x?a?或x?a+時,f(x)???,則稱x=a為函數(shù)f(x)的鉛直(垂直)漸近線.函數(shù)可能沒有鉛直漸近線,也可能有多條垂直漸近線.若x???或x?+?時,f(x)?A,則稱y=A為函數(shù)f(x)的水平漸近線.函數(shù)最多有兩條水平漸近線.xyO《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))
6、若成立,則稱直線y=ax+b是函數(shù)y=f(x)的斜漸近線.當(dāng)y=ax+b是y=f(x)的斜漸近線時.由得所以O(shè)yx《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))例13試用洛必達(dá)法則求曲線的斜漸近線.所以,曲線的斜漸近線為y=x?解由xy《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))單元測試1.求下列極限:《高等數(shù)學(xué)》課件(第四章第二節(jié))2.若f(0)?0,f?(x)在x?0的鄰域內(nèi)連續(xù),且f?(0)?0,試求3.求曲線y?的水平與鉛直漸近線.
