無(wú)窮小量的比較(I)

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1、2-6無(wú)窮小量的比較1復(fù)習(xí)二、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則2都是無(wú)窮小.極限不同,反映了無(wú)窮小趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限不存在第六節(jié)無(wú)窮小的比較3定義:記作:(1)如果就說(shuō)是比較高階的無(wú)窮小;(2)如果就說(shuō)是比較低階的無(wú)窮?。?3)如果就說(shuō)與同階的無(wú)窮小,(4)如果就說(shuō)是關(guān)于的k階無(wú)窮小.記作:設(shè)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小,且特別地,若C=1時(shí),就說(shuō)與是等價(jià)的無(wú)窮小;4注意:1.無(wú)窮小的階的高低是相對(duì)的;并依賴于極限過(guò)程的;2.無(wú)窮小的比較是型極限的另外一種說(shuō)法;3.有兩個(gè)重要的符號(hào)5例如∵∵∵∵67例1求解令則當(dāng)所以例2求證證1.8例31.則注意解∵

2、9例4解例5解10例6設(shè)當(dāng)時(shí)~求解因?yàn)閪所以有即11證必要性充分性意義:用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式.二、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小12例如,2.設(shè)在某個(gè)過(guò)程中,均為無(wú)窮小,則(自反性)(對(duì)稱性)(傳遞性)133.常用等價(jià)無(wú)窮小:14三、等價(jià)無(wú)窮小代換定理2(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證說(shuō)明:即定理?xiàng)l件滿足時(shí),可以只代換分子或分母.153.若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積,則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換,而不會(huì)改變?cè)降臉O限.即定理?xiàng)l件滿足時(shí),可以代換積中因式的無(wú)窮小.說(shuō)明:即定理?xiàng)l件滿足時(shí),可以只代換分子或分母.16解3.若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積,任意

3、一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換,而不會(huì)改變?cè)絼t可對(duì)其中的的極限.原式例7求極限的又一種好方法,注意適用條件.17例8求例9求解∵解∵18例10.求解:19例11解20例12解解錯(cuò)不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記:只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換,對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.注意21例13解∵22例14求解一解二23例15(09年考研)求解:原式=24小結(jié)1、無(wú)窮小的比較反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢.2、等價(jià)無(wú)窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.切記,只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換,對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.25思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎?思

4、考題解答不能.例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)時(shí)26解∵27

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