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《無窮小量的比較(VII)》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學(一)第十一講無窮小量的比較第三章函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學習要求:了解函數(shù)極限的概念,知道運用“ε-δ”和“ε-X”語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關系。掌握無窮小量的比較,能熟練運用等價無窮小量計算相應的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極限求相應的函數(shù)極限。理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念,會判斷函數(shù)間斷點的類型。了解基本初等
2、函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(介值定理、最值定理)。理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。第三章函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié)無窮小量的比較一.無窮小量比較的概念二.關于等階無窮小的性質和定理設?,?是同一個極限過程中的兩個無窮小量.則稱?是?的若記為高階無窮小,此時,也可稱?是?的低階無窮小.若為常數(shù),記為則稱?與?是同階無窮小,若為常數(shù),則稱?為?的k階無窮小,記為則稱?是?的若記為等階無窮小,等價無窮小必是同階無窮小,但反之不真.不存在,但又不是無窮大,若則稱?與?是不能比較的無窮小.x?0時的幾個無窮小量的比較:例1有何想法?例2證所以1?cosx=O(
3、x2)(x?0).例3?x?0時,不可比較的無窮小.不存在,但不是無窮大,與x是例4二.關于等階無窮小的性質和定理1.定理定理設在某一極限過程中,證綜上所述,限過程中的第三個變量.2.定理z是該極設在某極限過程中,(或為?),則若定理由定理1,得,故lim?z=?.綜上所述,設則則設證設在某極限過程中,?~?,?~?,則?~?.3.定理傳遞性定理無窮小量可以用其等價無窮小量替代.定理告訴我們:在計算只含有乘、除法的極限時,例如果在加減法中用等價無窮小量替代,則會產(chǎn)生錯誤:將常用的等階無窮小列舉如下:當x?0時求例5解求例6解求例7解求例8解求和差化積例9解此題也可先在分子處加1減1求
4、例10解證明:若在某極限過程中??0,??0,在某極限過程中,若?~?,則且??0,則?~?的充要條件是例11證反之,則故由于例12解解例13變量代換四則運算等價無窮小解例14連續(xù)兩次使用等價無窮小替代.等價無窮小替代解例15函數(shù)的性質等價無窮小替代重要極限也可再用等價無窮小替代請看下面的定理.定理證等價無窮小替代解例16利用初等方法進行變化,使之能用等價無窮小替代.解例17解例18解例19判別級數(shù)的斂散性.(x>0為常數(shù))由于而是n=2的P級數(shù),它是收斂的,解即故原級數(shù)例20解例21