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《格林公式及應(yīng)用(V)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、2Gyxo一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)3二.平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件定理2.設(shè)D是單連通開區(qū)域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意分段光滑閉曲線L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即4(1)沿D中任意分段光滑閉曲線L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則5(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分
2、與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有。。。和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),設(shè)6(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有7(1)沿D中任意分段光滑閉曲線L,有(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,所圍區(qū)域?yàn)?如圖),因此在上利用格林公式,得證明(4)(1)8二.平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件定理2.設(shè)D是單連通開區(qū)域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意分段光滑閉曲線L,有(2)對(duì)D中任一分段光
3、滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即9說(shuō)明:若在某區(qū)域內(nèi)有則(2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,(3)求全微分Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)(1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;10解：因?yàn)榧床缓c(diǎn)的單連通域，積分與路徑無(wú)關(guān)。取新路徑11其參數(shù)方程為12例2.驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。13例3.驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.
4、證:令則由定理2可知存在原函數(shù)。。14。。或15故積分路徑可取圓弧例4.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線L:由移動(dòng)到求力場(chǎng)所作的功W.(其中)解:令則有?曲線積分在除原點(diǎn)外的單連通開區(qū)域上與路徑無(wú)關(guān),思考：積分路徑是否可以取為什么？16設(shè)函數(shù)平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意t恒有解：由積分與路徑無(wú)關(guān)的條件知17兩邊對(duì)t求導(dǎo)得18三、全微分方程及其求法1.定義:則若有全微分形式例如全微分方程或恰當(dāng)方程所以是全微分方程.192.解法:(1)應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).通解為(2)用直接湊全微分的方法.為全微分方程20例1.求解解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程,取則有
5、因此方程的通解為21例2.求解解:因?yàn)樗赃@是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程寫為即故原方程的通解為或22解是全微分方程,原方程的通解為例323解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例424二、積分因子法定義:問(wèn)題:如何求方程的積分因子?25思考:如何求解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成對(duì)一個(gè)非全微分方程,若有一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使為全微分方程,在簡(jiǎn)單情況下,求積分因子可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)得到.則稱函數(shù)為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘例2的方程.26常用的微分倒推式有27例5求解解:分項(xiàng)組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,
6、故C為任意常數(shù).微分倒推公式28解將方程左端重新組合,有例6求微分方程原方程的通解為29解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例7求微分方程30內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在D內(nèi)有對(duì)D內(nèi)任意閉曲線L在D內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有3132思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問(wèn)下列計(jì)算是否正確?提示:時(shí)332.設(shè)求提示:34練習(xí)題35363738練習(xí)題答案39
