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《格林公式及應(yīng)用2.ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理2.設(shè)G是單連通域,在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿G中任意光滑閉曲線L,有(2)對G中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在G內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價(jià):在G內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明:(1)(2)設(shè)為G內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:(2)(3)在G內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分
2、則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:(3)(4)設(shè)存在函數(shù)u(x,y)使得則P,Q在G內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:(4)(1)設(shè)L為G中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方
3、便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束解解例3.驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:令則由定理2可知存在原函數(shù)三、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個等價(jià)命題條件等價(jià)命題練習(xí)題練習(xí)題答案
