格林公式及應(yīng)用

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1、曲線積分與曲面積分第三節(jié)格林公式及平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件一.格林公式平面區(qū)域上的二重積分與區(qū)域邊界曲線上的曲線積分的關(guān)系。設(shè)D為一平面域，如果D內(nèi)任意閉曲線所包圍的全體點(diǎn)都屬于D，則稱D為單連通域.否則稱D為復(fù)連通域DD從直觀上看，單連通域是不含有“洞”的區(qū)域．§3格林公式及平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理1（格林定理）設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在域D及其邊界L上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則L取正向格林公式先假設(shè)區(qū)域D既是X-型又是Y-型證同理如果D不滿足以上條件，那么可以用輔助曲線把D分成有限個(gè)部分閉區(qū)域，使得每個(gè)部

2、分閉區(qū)域都滿足上述條件。再考慮一般情形,例如MN兩式相加，注意到沿輔助曲線的曲線積分相互抵消注意:對于一般的復(fù)連通域D(非“點(diǎn)洞”),格林公式仍然成立,此時(shí)L為D的全部邊界曲線且取正向。利用格林公式，可得區(qū)域D的面積公式。令P=-y,Q=x例計(jì)算橢圓x=acost,y=bsint所圍的面積.例計(jì)算,其中L是矩形閉曲線(如圖).由格林公式-132例計(jì)算其中L是A到O的上半圓(如圖).OAaLL為非閉曲線,直接計(jì)算較繁.作輔助線OA,在閉曲線L+OA上用格林公式而OA:y=0,x從0到a所以所以二.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)P

3、(x,y),Q(x,y)是定義在平面域D上的有界函數(shù)，恒有如果對于D內(nèi)的任意兩點(diǎn)A,B以及D內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線,ABD在D內(nèi)與路徑無關(guān)L的端點(diǎn)A，B的坐標(biāo)定理1設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：(3)在D內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān).(1)在D內(nèi)恒成立；(2)對于D內(nèi)任一閉曲線C，應(yīng)用格林公式,有證(1)→(2)因?yàn)镈是單連域,所以閉曲線C所圍成的區(qū)域G全部在D內(nèi),于是對于閉曲線C=AmB+BnA,(2)→(3)在D內(nèi)任取兩條連接A、B的曲線AmB、AnBABDmn即(3)

4、成立在D內(nèi)任一閉曲線C上任取兩點(diǎn)A、B，將C分成兩段，即C=AmB+BnA，(3)→(1)用反證法證明(1)假設(shè)D內(nèi)有一點(diǎn)M，使設(shè)因?yàn)檫B續(xù)使從而設(shè)C為的正向邊界，則由格林公式知矛盾,則(1)得證.三個(gè)條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍，從而證明了它們相互等價(jià)注意:1.常用(1)來判斷曲線積分與路徑無關(guān);2.當(dāng)曲線積分與路徑無關(guān)時(shí)，常選擇最簡路徑——平行于坐標(biāo)軸的直線段組成的折線作為積分路徑;3.如果D是復(fù)連通域，即使，曲線積分也不一定與路徑無關(guān)。成立例計(jì)算L是通過O(0,0),A(1,0)和B(1,2)的圓周OAB因?yàn)樗苑e分與路徑無關(guān),取折線

5、OAB作為積分路徑.例計(jì)算L是不過原點(diǎn)且按逆時(shí)針方向的閉曲線因?yàn)榉謨煞N情況討論LCD1.設(shè)L內(nèi)不含原點(diǎn),則由定理1得2.設(shè)L內(nèi)包含原點(diǎn)記L和C所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,在復(fù)連域D內(nèi)應(yīng)用格林公式,得則選取適當(dāng)小的正數(shù)r,作位于L內(nèi)的圓周C:三．二元函數(shù)的全微分求積1.原函數(shù):如果存在一個(gè)函數(shù)u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函數(shù)全微分式例如全微分式原函數(shù)2.判別定理定理2設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D內(nèi)為某一函數(shù)全微分在D內(nèi)恒

6、成立.注:可以將定理1,2合并記憶為四命題等價(jià).3.全微分求積當(dāng)Pdx+Qdy為全微分式時(shí)，求其原函數(shù)u(x,y)的過程.與路徑無關(guān)，可選平行于坐標(biāo)軸的折線作為積分路徑.如圖取為積分路徑,得如圖取為積分路徑,得例驗(yàn)證全微分式并求其原函數(shù).取起點(diǎn)為(0,0),由公式全微分式在右半平面(x＞0)取起點(diǎn)為(1,0),全微分式注意:全體原函數(shù)為u(x,y)+C.思考題xyA(2,3)B(4,1)mxymA(2,3)B(4,1)