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1、第三節(jié)泰勒公式第三章二、麥克勞林（Maclaurin）公式三、泰勒公式的應(yīng)用一、泰勒（Taylor）公式一、泰勒(Taylor)公式1.泰勒公式的建立回顧：特點(diǎn):以直代曲設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，則x的一次多項(xiàng)式不足:1°精確度不高2°難以估計(jì)誤差需要解決的問題:2°給出誤差：的具體估計(jì)式.1°觀察：有相交相切猜pn(x)與f(x)在x0處相同的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？pn(x)的確定:要求:求系數(shù)尋求n次近似多項(xiàng)式：要求:帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式階的導(dǎo)數(shù),有則對2.帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒(Taylor)公式定理3.6Rn(x)的確定：分析要證只需證令(稱為余項(xiàng))
2、,只需證證令則有洛必達(dá)法則定理3.6的條件可以減弱：注定理3.6?證明同上，只需注意到：提示：帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式直到n+1階的導(dǎo)數(shù),有則對定理3.73.帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒(Taylor)公式其中證只需證令則有柯西中值定理且即解例1因此注1?泰勒公式的余項(xiàng)估計(jì)(1)當(dāng)n=0時(shí),泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?2)當(dāng)n=1時(shí),泰勒公式變?yōu)??泰勒公式的特例(3)若在泰勒公式中稱為麥克勞林公式二、麥克勞林（Maclaurin）公式由此得近似公式便可得到麥克勞林（Maclaurin）公式：在泰勒公式中取其中幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式：其中類似可得其中其中已知其中類似可得
3、三、泰勒公式的應(yīng)用1.在函數(shù)逼近中的應(yīng)用誤差其中M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.常見類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.2.在近似計(jì)算中的應(yīng)用在例2計(jì)算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解中令x=1,得由于欲使的麥克勞林公式由計(jì)算可知當(dāng)n=9時(shí)上式成立,因此3.利用泰勒公式求極限解例3(方法1)用泰勒公式例4解(方法2)用洛必達(dá)法則，需換元:例5證4.利用泰勒公式進(jìn)行證明證例6由麥克勞林公式有證明在開導(dǎo)數(shù)，從而兩式相減得從而由介值定理，1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.內(nèi)容小結(jié)2.常用
4、函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應(yīng)用(2)近似計(jì)算(3)求極限(4)證明(1)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)思考題1.在第一章§6中，重要極限為什么？解由第一章§6的證明，知舍掉對于固定的n,令m??得n+1項(xiàng)?由夾逼準(zhǔn)則，得一方面，另一方面，由于解2.備用題例2-1計(jì)算cosx的近似值,使其精確到0.005,試確定x的適用范圍.解近似公式的誤差為令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.用近似公式選擇解例2-2計(jì)算的近似值,要求精確到小數(shù)點(diǎn)后的第5位.因此符合精度要求，解用洛必塔法則不方便!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),由于例3-1解原式例3-2例3-3利用泰勒公式求極限解解例3-
5、4因?yàn)樗宰C例5-1其中a,b是非負(fù)數(shù)，求證：對一切有二階導(dǎo)數(shù)，兩式相減得于是證例5-2使得可得從而得使得即存在一點(diǎn)證例5-3由泰勒公式，得證例6-1所以在因?yàn)樗蕴├?1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).
