由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的數(shù)列問題

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1、由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的數(shù)列問題對數(shù)列的遞推公式，教材上的定義是：“如果已知數(shù)列{}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式”。從定義可以理解遞推公式包括兩個部分，一是第1或前幾項(xiàng)，二是任意相鄰兩項(xiàng)、或任意相鄰三項(xiàng)、、之間的關(guān)系式。形如f(，)=0或f(，，)=0的形式都是遞推公式..和由數(shù)列的遞推公式可以寫出這個數(shù)列中的任何一項(xiàng).通過遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是解決數(shù)列問題時經(jīng)常要遇見的。這類問題的處理方法是向特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化，利用特殊數(shù)列（主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列）的性質(zhì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。一、類型例舉（

2、一）形如=+f(n)的數(shù)列，通常利用迭加法，當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項(xiàng)之間的差組成等差數(shù)列或等比數(shù)列，就可用迭加法．迭代法得=a1+f(1)+f(2)+…+f(n－1),(n≥2)然后再求解。例1、在數(shù)列{}中，＝0，且=＋2n－1．求通項(xiàng)公式．解：依題意，－＝2n－1，則＝0，a2－a1＝2×1－1，a3－a2＝2×2－1，a4－a3＝2×3－1，…………－＝2×(n－1)－1．將以上各式相加，得＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)．即＝(n－1)2．例2、已知數(shù)列{}中，=1，-=2n(n≥2，n∈N).求通項(xiàng)公式.例3、（04年全國理科22題）數(shù)列中，=1，且a2

3、k=a2k－1+(－1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1，2，3，…。求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,∴a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k.同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1，…，a3－a1=3+(－1).∴(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+（a3－a1）=（3k+3k－1+…+3）+[(－1)k+(－1)k－1+…+（－1）]，從而a2k+1－a1=.易得到的通項(xiàng)公式：n為奇數(shù)時，；n為偶數(shù)時，.（二）形如的數(shù)列，利用迭乘或迭代法可得，當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項(xiàng)之間的商組成一

4、個等比數(shù)列，就可用迭積法進(jìn)行消元．.例4、在數(shù)列{}中，＝2，＝?，求通項(xiàng)公式．解：由已知，得．∴．將以上各式累乘，得．即＝．例5、數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且=1，=n2(n∈N*),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：由=n2an知Sn－1=(n－1)(n≥2)∴－=n2－(n－1)2n≥2時n－=，則(n+1)=(n－1)(n≥2).由a1=1≠0知各項(xiàng)都不等于0，，∴.各式相乘得∴≥2).又n=1時適合上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式≥2）.（三）形如－=p（P為常數(shù)且P≠0）的數(shù)列可化為的表達(dá)式，再求.例6、數(shù)列中，=1,當(dāng)n≥2時其前n項(xiàng)和滿足求的通項(xiàng)公式。解：∵當(dāng)n≥2時，.∵∴∴∴數(shù)列是以2

5、為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，∴.∴當(dāng)n≥2時，∴（四）形如=，=+r(q、r為常數(shù)，,)，求的數(shù)列例7、已知數(shù)列{}的遞推關(guān)系為：，且＝1，求通項(xiàng)公式．解：∵，∴．令＝＋1，則＝2．∴數(shù)列{}是公比為2的等比數(shù)列，∴＝b1即＋1＝(a1＋1)＝．∴＝－1．（五）形如（p,q為常數(shù)，且q≠0）的數(shù)列，可化為求解。例8、數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：依題設(shè)得∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴。（六）形如型的數(shù)列，可以通過一是利用迭代法；二是由和，消去.得，再構(gòu)造輔助數(shù)列來解.但這兩種方法都要討論n的奇偶性，這樣給解題帶來不方便.另外，這類型的數(shù)列通項(xiàng)公式也可直接利用構(gòu)造輔

6、助數(shù)列法來求解.例9、已知數(shù)列{}中，=1，+=2n(n≥2，n∈N).求通項(xiàng)公式.解：設(shè)－ｐ＝－（－ｐ2n－1）.　展開與原式比較得ｐ＝.∴－·＝－（－·2ｎ－1）.　即.這說明數(shù)列是以為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，于是－·＝.∴＝.例10、已知數(shù)列{}中，=1，+=2ｎ－3(n≥2，n∈N).求通項(xiàng)公式.解：設(shè)－（ｎ＋ｐ）＝－[－（ｎ－1＋ｐ）].展開得ｐ＝－1.∴－（ｎ－1）＝－[－（ｎ－2）].數(shù)列｛－（ｎ－1）｝是以1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，于是－（ｎ－1）＝∴＝－1＋ｎ.例11、已知數(shù)列{}中，＝1，＝＋2(n∈N*)，求通項(xiàng)公式．解：由已知得＝＋2，＝＋2，

7、an－2＝＋2an－3，……，a2＝2＋2a1＝4．將以上n－1個式子依次代入，得＝＋2(＋2an－2)＝2?＋22(＋2an－3)＝……＝(n－2)＋(2＋2a1)＝(n－2)＋2×＝n?．∴＝n?(n∈N*)．解2：＝＋2是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列例12、已知數(shù)列{ｂn}定義如下：ｂ1=1，+2=8·(n≥2，n∈N).求通項(xiàng)公式.解：設(shè)－ｐ·＝－2（ｂn-1－ｐ·）.展開比較得ｐ＝.∴ｂn－·＝－2（－·）.這說明數(shù)列｛ｂn－·｝是以ｂ1－·3＝為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，于是