201111271657255390《橢圓》_通法_特法_妙法

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1、《橢圓》通法特法妙法（1）解析法——解析幾何存在的理由解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法學(xué)習(xí)和研究幾何.在解析幾何的模式下，平面上任意一條曲線都唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)二元方程.反之，根據(jù)任意一個(gè)二元方程，都可以用描點(diǎn)法唯一地畫(huà)出它所對(duì)應(yīng)的曲線.因此，可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程、方程組或不等式.【例4】點(diǎn)P（x，y）在橢圓上，則的最大值為（）A.1B.-1C.D.【解析】設(shè)方程（1）表示過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（x，y）和原點(diǎn)的直線.顯然當(dāng)直線在橢圓上方且與橢圓相切時(shí)，最大.將方程（1）代入橢圓方程得：由于直線與橢圓相切，故方程（2）應(yīng)有相等二實(shí)根.由.∵k

2、>0，∴取，選D.【評(píng)注】直線與曲線相切的解析意義是相應(yīng)的一元二次方程有相等二實(shí)根，因而可轉(zhuǎn)化為其判別式為零處理；同理，直線與曲線相交要求相應(yīng)的判別式大于零，相離則要求這個(gè)判別式小于零.（2）導(dǎo)數(shù)法——把方程與函數(shù)鏈接由于解析法往往牽涉到比較繁雜的運(yùn)算，所以人們?cè)诮忸}中研究出了許多既能減少運(yùn)算，又能達(dá)到解題目的的好方法，導(dǎo)數(shù)法就是最為明顯的一種.【例5】求證：過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.【證明一】（解析法）設(shè)所求切線方程為：，代入橢圓方程：.化簡(jiǎn)得：∵直線與橢圓相切，∴方程（1）有相等二實(shí)根.其判別式△=0，即：.化簡(jiǎn)得：∵點(diǎn)在橢

3、圓上，∴，方程（2）之判別式.故方程（2）亦有相等二實(shí)根，且其根為：.則切線方程為：.再化簡(jiǎn)即得：.【證明二】（導(dǎo)數(shù)法）對(duì)方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.則切線方程為：.再化簡(jiǎn)即得：.【評(píng)注】（1）兩種證法的繁簡(jiǎn)相差多大，一看便知（2）這個(gè)切線方程的實(shí)際意義很大.在有關(guān)運(yùn)算中直接引用這個(gè)公式是十分省事的.（3）幾何法——為解析法尋根朔源減少解析計(jì)算的又一個(gè)重要手段，是在解題中充分運(yùn)用平面幾何知識(shí).【例6】（07.湖南文科.9題）設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【解析】如

4、圖有，設(shè)右準(zhǔn)線交x軸于H，∵，選D.【例7】已知橢圓和圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）【解析】如右圖橢圓的中心在原點(diǎn)，且長(zhǎng)、短半軸分別為a=2，b=1；圓的圓心為C（a，0）且半徑R=1.顯然，當(dāng)圓C從橢圓左邊與之相切右移到橢圓右邊與之相切時(shí)都有公共點(diǎn).此時(shí)圓心的橫坐標(biāo)由-3增加到3，故a∈，選C.在解析幾何解體中引入平面幾何知識(shí)包含兩個(gè)重要方面，一是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何知識(shí)及其推理功能，二是利用圖形變換去進(jìn)行數(shù)量的分析與計(jì)算.（4）轉(zhuǎn)移法——將生疏向熟知化歸做數(shù)學(xué)題如果題題都從最原始的地方起步，顯然是勞神費(fèi)力且違反數(shù)學(xué)原則的.

5、不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用前此運(yùn)算成果就成為數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)特點(diǎn).而轉(zhuǎn)移法正是這一思想的具體體現(xiàn).【例8】（06.全國(guó)一卷.20題）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x,y軸的交點(diǎn)分別為A,B且向量OM=OA+OB.試求點(diǎn)M的軌跡方程【分析】點(diǎn)P在已知軌跡（橢圓在第一象限的部分）上，是主動(dòng)點(diǎn)；點(diǎn)M在未知軌跡上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，是被動(dòng)點(diǎn).故本例是典型的國(guó)際已知軌跡求未知軌跡，適合用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法解之.此外，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P的切線方程，可以直接運(yùn)用例5的結(jié)論.【解

6、析】橢圓的半焦距，離心率.又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故其方程為：.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為那么過(guò)點(diǎn)P的橢圓切線方程為：在方程（2）中，令y=0，得.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由OM=OA+OBT，代入（1）：.∵，∴所求點(diǎn)M的軌跡方程是：.轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的基本步驟是：（1）在已知軌跡上任取一點(diǎn)M（x0，y0），并寫(xiě)出其滿足的已知關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）為待求軌跡上一點(diǎn)，并根據(jù)題設(shè)條件求出兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系式；（3）用x，y的代數(shù)式分別表示x0，y0，代入（1）中的關(guān)系式化簡(jiǎn)即得.（5）三角法——與解析法珠聯(lián)璧合三角學(xué)的資源豐富，方法靈活.在解析幾何解題

7、中適當(dāng)引入三角知識(shí)，優(yōu)點(diǎn)多多.例如橢圓方程的三角形式是：，既將點(diǎn)的坐標(biāo)中的兩個(gè)變量減少為一個(gè)，又可以利用三角的優(yōu)勢(shì)去解決解析幾何中的疑難.【例9】若P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，則的最大值和最小值分別是【解析】橢圓的長(zhǎng)、短半軸分別為a=2，b=，∴半焦距c=1.焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為：F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.設(shè)橢圓上一點(diǎn)為，那么.同理；.于是故所求最大值為4，最小值是3.【例10】如圖1，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），右準(zhǔn)線l的方程為：x=12。（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明為定值，并

8、求此定值.【分析】本題選自07.重慶卷.22題，是壓軸題.難度很大.動(dòng)手前一定要選擇好恰當(dāng)?shù)钠祁}路徑，否則將陷入繁雜的計(jì)算而不得自拔.有關(guān)的3條線段都是焦半徑，企圖用橢圓的第一定義或兩點(diǎn)距離公式出發(fā)將是徒勞的.正確的解題途徑是：（1）利用橢圓的第二