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《隨機變量及分布[概率與統(tǒng)計》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第二章隨機變量及其分布引言在第一章里，我們研究了隨機事件及其概率，通過隨機事件的概率計算初步了解了如何定量描述和研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的基本方法．然而實際中由一個隨機試驗導出的隨機事件是多種多樣的，因此，想通過隨機事件概率的計算來達到了解隨機現(xiàn)象的規(guī)律性顯得很不方便．本章，我們將引進概率論中的一個重要概念—隨機變量．使隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，以便采用高等數(shù)學的方法描述、研究隨機現(xiàn)象．本章我們將主要介紹:隨機變量的概念離散型隨機變量及其分布隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度隨機變量函數(shù)的分布第一節(jié)隨機變量的概念隨機變量概念的引入引入隨
2、機變量的意義隨機變量的分類(1)有些隨機試驗中，試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.例如，擲一顆骰子觀察其朝上面出現(xiàn)的點數(shù)；一、隨機變量概念的引入每次出現(xiàn)的結(jié)果與一個數(shù)值對應，分別由1,2,3,4,5,6來表示；(2)在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關，但可以指定一個數(shù)量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，可把試驗結(jié)果數(shù)值化.例如:擲硬幣試驗,考察其正面和反面朝上的情況可規(guī)定:用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”。結(jié)論：不管試驗結(jié)果是否與數(shù)值有關，我們都可以通過引入某個變量，使試驗結(jié)果與數(shù)建立了對應關系這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了
3、一種實值單值函數(shù).定義域為樣本空間Ω，取值為實數(shù).ω.X(ω)R這即為所謂的隨機變量隨機變量的定義定義1.1設隨機試驗E的樣本空間為Ω，對于任意的ω∈Ω,X=X(ω)是定義在Ω上的單值實值函數(shù)，則稱X=X(ω)為一個定義在Ω上的隨機變量（RandomVariable），簡記為X．通常用大寫字母Ｘ,Ｙ,Ｚ或希臘字母?,?等表示.（1）X是一個變量,它的取值隨試驗結(jié)果而改變，由于事先不能確定，故有隨機性；（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，故隨機變量X取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.說明：(3)隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,W
4、,…或希臘字母?,?等表示,而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z,w,…等.例1試驗E—電話臺單位時間內(nèi)收到的用戶呼喚次數(shù)。記呼喚次數(shù)為X(k)=k(k=0,1,2,…)，則X是一個隨機變量，其所有可能取值為0，1，2，…,(X=i)代表相應的基本事件（樣本點）。例2試驗E—某地區(qū)某段時間內(nèi)的氣溫。則任一時刻的氣溫值X是一個隨機變量，且其所有可能的取值為[a，b]。（X=i）即為一基本事件（樣本點）。例3試驗E—檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，每次出現(xiàn)的結(jié)果雖不和數(shù)值對應，我們可以人為的定義一個數(shù)值來代表相應的一個基本事件（樣本點），如“1”代
5、表“合格品”，“0”代表“次品”這樣，可引進一個隨機變量X，它的取值為0，1。隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律二、引入隨機變量的意義如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.事件A＝{收到不少于1次呼叫}B＝{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}而有P(A)=P{X≥1}P(B)=P{X=0}再如：E—擲色子，隨機
6、變量X表示朝上面的點數(shù)。則：P（X?1）=1/6，P（X?2）=2/6，P（X?5.7）=5/6，P（X?0）=0，P（X?6）=1，P（X?13.3）=1，P（X?-4.12）=0三、隨機變量的分類按照隨機變量的取值情況可把其分為兩類：離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值只有有限個或無限可列個。如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.非離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值不能一一列出。其中最重要的是續(xù)型隨機變量（隨機變量X的取值連續(xù)地充滿某個區(qū)間或整個數(shù)軸），例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.對于隨機變量，我們主要關心
7、如下兩件事：1．隨機變量的取值范圍是什么？2．它取每個值或在某個范圍內(nèi)取值的概率是多少？關于這個問題，將在下面幾節(jié)中，按離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量分別進行研究.第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布離散型隨機變量定義離散型隨機變量的概率分布幾種常見的離散型隨機變量的概率分布定義：若隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,則稱X為離散型隨機變量.一、離散型隨機變量定義例如：1、設X表示拋三次硬幣的試驗中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù).X的可能取值為0，1，2，3.2、設Y表示120急救電話臺一晝夜收到的呼次數(shù)則Y的可能取值為0,1,2,3,……X和
8、Y都是離散型隨機變量若離散型隨機變量X所有可能的取值為x1,x2,…,對應的概率為p1,p2,…。即：P(X=xi)=pi,i=1,2,…(1)則稱式(1)為隨機變
