初中幾何綜合之圖形證明題(教師用)

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1、幾何綜合之圖形證明題1、（2013年濰坊市）如圖，四邊形是平行四邊形，以對角線為直徑作⊙，分別于、相交于點(diǎn)、.（1）求證四邊形為矩形.（2）若試判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由.答案：考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，，相似三角形的判定，直徑對的圓周角是直角，圓的切線的判定等知識的綜合運(yùn)用.點(diǎn)評：關(guān)鍵是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圓的切線的判定方法.2、（2013陜西壓軸題）問題探究（1）請?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；（2）如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請?jiān)趫D②中

2、作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.問題解決（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.圖①圖②ABCDMB圖③ACDP（第25題圖）考點(diǎn)：本題陜西近年來考查的有：折疊問題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問題及最值問題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對圖形的

3、面積等分問題。解析：此題主要考查學(xué)生的閱讀問題的能力，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識遷移的過程。（1）問較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的。（2）問中其實(shí)在八年級學(xué)習(xí)四邊形時好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點(diǎn)的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。（3）問中可以考慮構(gòu)造（1）

4、（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來解決。也可以用中點(diǎn)的性質(zhì)來解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點(diǎn)就有兩個方面的應(yīng)用，一是中線（倍長中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。解：（1）如圖①所示．（2）如圖②，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.理由如下：答圖②ABCDM（第25題答案圖）答圖①OPQFE∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對稱中心∴AP=CQ，EB

5、=DF，D在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE∴∠AOP=∠BOE∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB∴AP=BE=DF=CQ∴AE=BQ=CF=PD設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為.∴∴∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分另解：∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的中心∴OA=OB=OC=OD∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=9

6、0°∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF∴∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分（3）B答圖③ACDP（第25題答案圖）MQFE存在.當(dāng)BQ=CD=時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖③，延長BA至點(diǎn)E，使AE=，延長CD至點(diǎn)F，使DF=，連接EF.∴BE∥CF，BE=CF∴四邊形BCFE為平行四邊形，∵BC=BE=+，∴平行四邊形DBFE為菱形連接BF交AD于點(diǎn)M，則△MAB≌△MDF∴AM=DM.即點(diǎn)P、M重合.

7、∴點(diǎn)P是菱形EBCF對角線的交點(diǎn)，在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=.設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為∴所以當(dāng)BQ=時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.另解：存在.當(dāng)BQ=CD=時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖④，連接BP并延長BP交CD延長線于點(diǎn)F，連接CP∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PA=PD∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF∴△APB≌△DPFB答圖④ACDP（第25題答案圖）QF∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中線，∴∵AB

8、+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分線.∴點(diǎn)P到AB與CB的距離相等，∵BQ=，所以CQ=AB=∴∴所以當(dāng)BQ=時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.3、（2013?玉林）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點(diǎn)A關(guān)于對角線BD的對稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，DF的中點(diǎn)．