行列式按行（列）展開

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1、1.4行列式按行（列）展開定義1：在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式。記為稱為元素的代數(shù)余子式。例如：注：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。注：元素的余子式（代數(shù)余子式）只與它的位置有關(guān)，與它本身的值，還有第i行，第j列上的其他任何元素?zé)o關(guān)定理1行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和或．推論行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即或．綜上，得公式在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公

2、式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n－1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。例1證明范德蒙德（Vander-monde）行列式證對(duì)行列式階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．假設(shè)對(duì)階范德蒙德行列式結(jié)論成立，往證階范德蒙德行列式也成立．從第行開始，后行減前行的倍，得按第1列展開，并提出每一列的公因子，有上式右端的行列式是一個(gè)階范德蒙德行列式，由歸納法假設(shè)，它等于所有因子的乘積，其中，即例2計(jì)算如下“兩邊加一對(duì)角”型

3、行列式：解：例計(jì)算解練習(xí)：用降階法（按行按列展開）計(jì)算行列式的值。=57總結(jié)：1、定義法：“0”巨多（很少用）2、化三角形法：(a)行（列）和相等，如P15：例3，P16例4，P23：例3,(1)，P24：例4,P38:10(2),P39:14（5）;(b)三條線型行列式：爪型（P41,4（3）），兩對(duì)一邊（P38，14（4）），三對(duì)角線型（如P25，例6）.3、降階法：(a)直接根據(jù)行列式的性質(zhì)將某一行元素化成盡可能多的“0”，然后展開（P23：例3,(2)）;(b)歸納法：如P26：例7(范德蒙德行列式);(c

4、)遞推法，如P25：例6.注：1、對(duì)于行（列）和相等的行列式，我們通常把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使得第一行（列）的元素都相等，然后提公因子。2、我們?cè)谟?jì)算行列式時(shí)首先要觀察它的結(jié)構(gòu)再計(jì)算（P37:8（2），（5））&1.5克拉默法則對(duì)于二元一次方程組當(dāng)系數(shù)行列式時(shí),有惟一解，我們知道，二元一次方程組的解可以用行列式表示，那么含有n個(gè)未知量x1,x2,…,xn的n個(gè)線性方程的方程組的解能否用行列式表示呢？回答是肯定的，即有設(shè)含有個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程的線性方程組為(2)階行列式稱為方程組(2)的系數(shù)行列式．定

5、理1（克拉默法則）若線性方程組(2)的系數(shù)行列式，則方程組有惟一解(3)其中是將系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即例1解四元線性方程組解系數(shù)行列式于是得注:1、利用克拉默法則求解時(shí)，這個(gè)方程組必須滿足兩個(gè)條件:(a)方程組中方程的個(gè)數(shù)必須與未知量的個(gè)數(shù)相等，（b）系數(shù)行列式不為零。2、理論意義：克拉默法給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。但用此法則求解線性方程組計(jì)算量大。3.撇開求解公式Cramer法則可敘述為下面定理：定理2：如果線性方程組(2)的系數(shù)行列式則(2)一定有解,且解是唯一的.

6、定理2'：如果線性方程組(2)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.例2解方程組解系數(shù)行列式于是得線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組。此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念:對(duì)于齊次線性方程組x1=x2=…=xn=0一定是它的解。稱為齊次方程組(4)的零解。如果一組不全為零的數(shù)是(4)的解，則叫做齊次方程組的非零解。方程組(4)一定有零解，但不一定有非零解。定理3：如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解。定理3′：如果齊次線性方程組(4)有非零解，則它的系數(shù)行列式

7、D必為0。例如：系數(shù)行列式D=0是齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。系數(shù)行列式有非零解.例3問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解．解由定理6可知，若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式，而由，解得、或．不難驗(yàn)證，當(dāng)、或時(shí)，原齊次線性方程組確有非零解．思考題:當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何?解答:不能,此時(shí)方程組的解為無解或有無窮多解.作業(yè)：P39：15（5）、17、18克萊姆（Cramer,Gabriel,17041752）瑞士數(shù)學(xué)家,于1704年7月31日

8、生于日內(nèi)瓦。1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，1734年成為幾何學(xué)教授，1750年任哲學(xué)教授。他自1727年進(jìn)行為期兩年的旅行訪學(xué)。在巴塞爾與約翰．伯努利、歐拉等人學(xué)習(xí)交流，結(jié)為摯友。他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人且德高望重，先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國(guó)、意大利等學(xué)會(huì)的成員。該法則于1729年由英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林得到，1748年發(fā)表，但克萊姆的