灰色及其改進模型

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1、GM(1,1)及其改進模型1．引言灰色系統(tǒng)分析是我國學(xué)者鄧聚龍教授于20世紀80年代前期提出的用于控制和預(yù)測的新理論、新技術(shù)[1]。由于它在建模、預(yù)測、控制等方面的獨到之處，已在各個方面得到了廣泛應(yīng)用。郝永紅、邵珠艷、李如雪分別利用灰色模型分析了中國、山東濟寧和山東聊城的人口狀況[6]~[8]。一個地區(qū)的總?cè)丝谂c很多因素有關(guān)，不是用幾個指標所能表達清楚的。而且，這些因素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系難以準確描述，其中有些因素甚至是不明確的?；疑到y(tǒng)理論把這樣受眾多因素影響，而又無法確定其復(fù)雜關(guān)系的量，稱為灰色量[1]。對灰色量進行預(yù)測，不必考慮數(shù)據(jù)不準，關(guān)系不清、變化不明的因素

2、和變量，而是從自身的時間序列出發(fā)，發(fā)現(xiàn)和認識內(nèi)在規(guī)律，并進行預(yù)測。2.常規(guī)的GM（1，1）模型灰色單數(shù)列預(yù)測，與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的時間序列預(yù)測，有本質(zhì)的不同。時間序列預(yù)測是利用時間序列的幾何特征和統(tǒng)計規(guī)律進行預(yù)測。是一種歷史的和靜態(tài)的研究。而灰色數(shù)列預(yù)測是一種現(xiàn)實的和動態(tài)的分析與預(yù)測。這是由于灰色動態(tài)模型不是利用時間序數(shù)據(jù)直接建模，而是將序列數(shù)據(jù)作一次累加生成后，再建立微分方程。下面通過對灰色動態(tài)模型GM(1，1)[1]進行分析與討論，來說明這個特征。時間序列有n個觀察值，，通過累加生成新序列，（2.1）GM（1，1）是一個包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的動態(tài)模型：（

3、2.2）其中是的緊鄰均值生成序列，即，（2.3）式（2.2）的白化方程為：其中：稱為發(fā)展系數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。的有效區(qū)間是，應(yīng)用最小二乘法求解可得：其中：8，將代入微分方程式，解出時間函數(shù)為：（2.4）3.等維灰數(shù)遞補動態(tài)預(yù)測模型通常，GM(1，1)模型通過對數(shù)列維數(shù)的不同取舍，可得到一系列預(yù)測結(jié)果，而組成一個預(yù)測灰區(qū)間供決策選用。但如果GM(1，1)模型預(yù)測所得灰區(qū)間過大，那么就很難得到較為滿意的結(jié)果。這是因為GM(1，1)模型預(yù)測灰平面成喇叭型展開，預(yù)測時刻越遠預(yù)測的灰區(qū)間越大。因此，用已知序列建GM(1，1)模型進行預(yù)測時，建議不用這個模型一直預(yù)測下去，

4、而是只預(yù)測一個值，然后將這個灰數(shù)補充在已知數(shù)列之后，同時為不增加序列長度，去掉第一個已知數(shù)據(jù)，以保持數(shù)據(jù)列的等維，提高模型精度。即將時間序列的值，替換為再建立GM(1，1)模型，這樣新陳代謝[4]，逐個預(yù)測依次遞補,不斷補充新的信息,使灰度逐步減低，直到完成預(yù)測目的或達到一定的精度要求為止。這種方法稱為“等維灰數(shù)遞補動態(tài)預(yù)測”[2]~[4]。這種改進的模型及時補充和利用了新的信息，提高了灰區(qū)間的白化度。顯然，用改進后的新模型去預(yù)測下一值，比原模型進行預(yù)測要更合理，且更接近實際。當然，動態(tài)模型每預(yù)測一步模型參數(shù)做一次修正，因而預(yù)測值都產(chǎn)生在動態(tài)之中。隨著遞補次數(shù)的

5、增加灰度也在增大，信息量會越來越少，因此，遞補預(yù)測也不應(yīng)是無止境的。4.基于灰色理論與BP算法的人口預(yù)測模型4.1BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的引入人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ArtificialNeuralNetworks，簡稱為ANN)是近年來發(fā)展起來的模擬人腦生物過程的人工智能技術(shù)。它由大量簡單的神經(jīng)元廣泛互連形成的復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，它不需要任何先驗公式，就能從已有數(shù)據(jù)中自動地歸納規(guī)則，獲得這些數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，具有很強的非線性映射能力，特別適合于因果關(guān)系復(fù)雜的非確定性推理、判斷、識別和分類等問題。對于任意一組隨機的、正態(tài)的數(shù)據(jù)，都可以利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進行統(tǒng)計分析，做出擬合和預(yù)測?；?/p>

6、于誤差反向傳播(Backpropagation)算法的多層前饋網(wǎng)絡(luò)(Multiple—layerfeedforward8network，簡記為BP網(wǎng)絡(luò))，是目前應(yīng)用最成功和廣泛的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]。下面我們就基于BP人工神經(jīng)理論來建模。4.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和理論建模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)是指神經(jīng)元之間的互連結(jié)構(gòu)。圖1是一個三層的BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。BP網(wǎng)絡(luò)由輸入層、輸出層以及一個或多個隱層節(jié)點互連而成的一種多層網(wǎng)，這種結(jié)構(gòu)使多層前饋網(wǎng)絡(luò)可在輸入和輸出間建立合適的線性或非線性關(guān)系，又不致使網(wǎng)絡(luò)輸出限制在-1和1之間。圖1一個三層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)BP算法通過“訓(xùn)練”這一事件來

7、得到這種輸入、輸出間合適的線性或非線性關(guān)系?！坝?xùn)練”的過程可以分為向前傳輸和向后傳輸兩個階段[10]~[11]：⑴向前傳輸階段：①從樣本集中取一個樣本，將輸入網(wǎng)絡(luò)；②計算出誤差測度和實際輸出；③對權(quán)重值各做一次調(diào)整，重復(fù)這個循環(huán)，直到。⑵向后傳播階段——誤差傳播階段：①計算實際輸出與理想輸出的差；②用輸出層的誤差調(diào)整輸出層權(quán)矩陣；③；④用此誤差估計輸出層的直接前導(dǎo)層的誤差，再用輸出層前導(dǎo)層誤差估計更前一層的誤差。如此獲得所有其他各層的誤差估計；⑤并用這些估計實現(xiàn)對權(quán)矩陣的修改。形成將輸出端表現(xiàn)出的誤差沿著與輸出信號相反的方向逐級向輸出端傳遞的過程。網(wǎng)絡(luò)關(guān)于整個樣

8、本集的誤差測度：4.3灰