高數(shù)B第一冊總復習

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1、高等數(shù)學（上）總復習第一章函數(shù)與極限內容提要與典型例題1.理解函數(shù)的定義與特性：函數(shù)的三要素——定義域、值域、法則；四種特性——有界性、單調性、奇偶性、周期性。一、函數(shù)注意常用函數(shù)：復合函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù)2.會求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達式二、極限1.理解數(shù)列的極限的定義及性質；2.理解函數(shù)的極限的定義及性質；不存在注意一個結論：應用：當分段函數(shù)在分段點左、右兩側表達式不同時，求函數(shù)在分段點的極限3.理解無窮小與無窮大的概念，無窮小的階的概念；會進行無窮小的比較。特別注意：等價無窮小無窮小與極限的關系：其中?為時的無窮小量.（1）利用極限的運算

2、法則4.極限的計算——可簡化求極限的過程設且x滿足時,則有（≠0，≠0，m,n為非負整數(shù)).f)冪指函數(shù)的極限運算（2）利用連續(xù)函數(shù)的性質求極限（3）利用無窮小的運算性質a)有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。b)有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。c)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.（4）利用等價無窮小的替換簡化計算:（5）利用重要極限或注:代表相同的表達式（6）利用極限的存在準則夾逼定理單調有界數(shù)列必有極限（7）洛必達法則——求不定式的極限注意:應用洛必達法則的條件：為有限數(shù)A(或為)方法：若但此時又要注意若出現(xiàn)循環(huán)形式就要另謀他法了。例計算下

3、列極限三、連續(xù)1.理解函數(shù)連續(xù)的定義；在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)設函數(shù)且函數(shù)在點(1)在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:注意：極限與連續(xù)的關系:極限連續(xù)連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.2.會判斷函數(shù)在一點是否連續(xù)性，若是間斷點能夠指出間斷點的類型。3.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（1）

4、有界性與最大值最小值定理（2）零點定理與介值定理第二章導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分的概念1.導數(shù)的定義設函數(shù)在點存在,并稱此極限為則稱函數(shù)若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數(shù).記作:2.導數(shù)定義的三種形式例：設函數(shù)，求曲線在點的切線斜率為切線方程:法線方程:3.導數(shù)的幾何意義4.左導數(shù)與右導數(shù)在點的某個右鄰域內若極限設函數(shù)有定義,(左)則稱此極限值為在處的右導數(shù),記作存在,(左)定理函數(shù)在點且可導的充分必要條件是注：求分段函數(shù)在分段點的導數(shù)要用導數(shù)的定義例設函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導，應取什么值?的微分,定義:若函數(shù)在點的增量可表示為(A為不

5、依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即在點可微,5.微分的定義定理:函數(shù)在點可微的充要條件是即求微分的方法函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導有極限函數(shù)可微二、熟練應用公式及法則求函數(shù)的導數(shù)及微分1.求下列函數(shù)的導數(shù)2.求隱函數(shù)的導數(shù)及微分例設函數(shù)由方程所確定，求第三章導數(shù)的應用1.微分中值定理及其相互關系泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理羅爾定理2.微分中值定理的主要應用(1)研究函數(shù)或導數(shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關中值問題的結論解題方法:利用逆向思維,設輔助函數(shù),一般證明含一個中值的等式或根的存在,(3)若結論中涉及含中值的兩個不同函數(shù),

6、可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.(2)證明不等式多用拉格朗日中值定理例證明不等式：當時，公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項.二、泰勒(Taylor)中值定理:階的導數(shù),時,有①其中②則當帶有佩亞諾(Peano)余項的n階泰勒公式.稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取二、利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)：討論函數(shù)的單調區(qū)間可以按以下步驟進行：1）確定函數(shù)的定義域；2）求，找出和不存在的點，以這些點為分界點，把定義域分成若干區(qū)間；3）在各個區(qū)間上判別的符號，以此確定各區(qū)間上的單調性

7、。的連續(xù)性及導函數(shù)例填空題(1)設函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,單調減區(qū)間為;極小值點為;極大值點為.提示:的正負作f(x)的示意圖.單調增區(qū)間為;.在區(qū)間上是凸弧;拐點為提示:的正負作f(x)的示意圖.形在區(qū)間上是凹弧;則函數(shù)f(x)的圖(2)設函數(shù)的圖形如圖所示,3.求函數(shù)的極值、最值：極值——函數(shù)在定義域內部局部的最值極值點——定義域內增、減區(qū)間的分界點求函數(shù)極值點的方法：（極值第一、第二判別法）二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.(極值第二判別法)判斷駐點是否是極值點最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:

8、(1)求在內的極值可疑點(2)最大值最小值特別:當在內只有一個極值可疑點時,當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最