高數(shù)-2015高數(shù)A上總復(fù)習(xí)課件.ppt

《高數(shù)-2015高數(shù)A上總復(fù)習(xí)課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、高數(shù)A（上冊）總復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)三角函數(shù)公式定義4：連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.注：拐點是曲線上的點，為平面點；幾個重要的小概念可微高等數(shù)學(xué)上冊重要概念可導(dǎo)有極限連續(xù)積分左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大大左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間

2、斷點第一類第二類1.多項式與某些分式函數(shù)代入法求極限;2.消去零因子法求極限;3.無窮小因子分出法求極限（分子、分母同除以x的最高次冪）;4.無窮小運算性質(zhì)求極限;5.利用左右極限求分段函數(shù)極限.6.極限的存在準(zhǔn)則；7.兩個重要極限；8.等價無窮小的替代；9.分子（分母）有理化；10.函數(shù)符號與極限符號交換；11.冪指函數(shù)求極限；12；洛比達(dá)法則求極限；13；轉(zhuǎn)化為定積分求極限等.求極限常用方法常用等價無窮小:例如求解:令則利用夾逼準(zhǔn)則可知有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例

3、.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=,b=.提示:有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.例.設(shè)f(x)定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:且對任意實數(shù)證明f(x)對一切x都連續(xù).上連續(xù),且恒為正,例.設(shè)在對任意的必存在一點證:使令,則使故由零點定理知,存在即證明:即變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求極限解洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則確定幾種未定式極限的方法洛比達(dá)法則求極限左極限:右極限:【結(jié)論】單側(cè)極限、導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)在x=x0點的導(dǎo)數(shù)定義其他形式2.右

4、導(dǎo)數(shù):1.左導(dǎo)數(shù):常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（16）常用的高階導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)和、差、積、商的微分法則微分公式求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)、微分內(nèi)容之關(guān)系可微幾個重要概念之間的關(guān)系可導(dǎo)有極限連續(xù)你能舉出反例嗎？1、隱函數(shù)的求導(dǎo)法把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)?然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.特殊函數(shù)求導(dǎo)方法2、對數(shù)求導(dǎo)法一般地由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得特殊函數(shù)求導(dǎo)方法解？例設(shè)在處連續(xù),且求解:設(shè)解:又例.所以在處連續(xù).即在處可導(dǎo).處的連續(xù)性及可導(dǎo)性.Rolle定理Lagrange中值定理Cauch

5、y中值定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三個中值定理之間的關(guān)系；函數(shù)f（x）、F（x）在區(qū)間1、[a，b]上連續(xù)2、（a，b）內(nèi)可導(dǎo)微分中值定理定理2(第一充分條件)極值的條件定理3(第二充分條件)例.設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證:取點再取異于的點對為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證.例.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點例.設(shè)實數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至

6、少有一個實根.證:令則且由羅爾定理知存在一點使即證:設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.在上存在,且單調(diào)有遞減,證明對一切例：設(shè)例.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(2019考研)試證必存在想到找一點c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點由羅爾定理知,必存在保號性定理證:不妨設(shè)必有使故保號性定理必有使故又在上連續(xù),由零點定理知,存在使在區(qū)間上連續(xù),且試證存在使例：設(shè)例：已知函

7、數(shù)內(nèi)可導(dǎo),且證:(1)令故存在使即(2019考研）內(nèi)可導(dǎo),且(2)根據(jù)拉格朗日中值定理,存在使例.已知函數(shù)階導(dǎo)數(shù),且存在相等的最大值,并滿足例.設(shè)函數(shù)證:據(jù)泰勒定理,存在使由此得即有(2019考研）情形1.則有內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且存在相等的最大值,并滿足情形2.因此據(jù)零點定理,存在即有則有例.設(shè)函數(shù)應(yīng)用羅爾定理得內(nèi)具有二例.試證使分析:即證故作輔助函數(shù)至少存在一點即證明:令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號,因此故所證等式成立.故由羅爾定理知,存在一點思考:本題能否用柯西中值定理證明?如果

8、能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)例15例.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點?,使(3)在(a,b)內(nèi)存在與?相異的點?,使(2019考研)證:(1)由f(x)在[a,b]上連續(xù),知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)設(shè)滿足柯西中值定理條件,于是存在即(3)因在[a,?]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得例.設(shè)證:設(shè)且