高數(shù)B 第一冊 總復(fù)習(xí).ppt

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1、高等數(shù)學(xué)（上）總復(fù)習(xí)第一章函數(shù)與極限內(nèi)容提要與典型例題1.理解函數(shù)的定義與特性：函數(shù)的三要素——定義域、值域、法則；四種特性——有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。一、函數(shù)注意常用函數(shù)：復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù)2.會求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達(dá)式二、極限1.理解數(shù)列的極限的定義及性質(zhì)；2.理解函數(shù)的極限的定義及性質(zhì)；不存在注意一個結(jié)論：應(yīng)用：當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)左、右兩側(cè)表達(dá)式不同時，求函數(shù)在分段點(diǎn)的極限3.理解無窮小與無窮大的概念，無窮小的階的概念；會進(jìn)行無窮小的比較。特別注意：等價無窮小無窮小與極限的關(guān)系

2、：其中?為時的無窮小量.（1）利用極限的運(yùn)算法則4.極限的計算——可簡化求極限的過程設(shè)且x滿足時,則有（≠0，≠0，m,n為非負(fù)整數(shù)).f)冪指函數(shù)的極限運(yùn)算（2）利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限（3）利用無窮小的運(yùn)算性質(zhì)a)有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。b)有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。c)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.（4）利用等價無窮小的替換簡化計算:（5）利用重要極限或注:代表相同的表達(dá)式（6）利用極限的存在準(zhǔn)則夾逼定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限（7）洛必達(dá)法則——求不定式的極限注意:應(yīng)用洛必達(dá)法

3、則的條件：為有限數(shù)A(或?yàn)?方法：若但此時又要注意若出現(xiàn)循環(huán)形式就要另謀他法了。例計算下列極限三、連續(xù)1.理解函數(shù)連續(xù)的定義；在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且函數(shù)在點(diǎn)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價命題:注意：極限與連續(xù)的關(guān)系:極限連續(xù)連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷

4、點(diǎn).為無窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).2.會判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)性，若是間斷點(diǎn)能夠指出間斷點(diǎn)的類型。3.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性與最大值最小值定理（2）零點(diǎn)定理與介值定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)與微分的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).記作:2.導(dǎo)數(shù)定義的三種形式例：設(shè)函數(shù)，求曲線在點(diǎn)的切線斜率為切線方程:法線方程:3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義4.左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)若極限設(shè)函數(shù)有定義,(左)則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作存在

5、,(左)定理函數(shù)在點(diǎn)且可導(dǎo)的充分必要條件是注：求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義例設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值?的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即在點(diǎn)可微,5.微分的定義定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即求微分的方法函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限函數(shù)可微二、熟練應(yīng)用公式及法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分例設(shè)函數(shù)由方程所確定，求第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理羅爾

6、定理2.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論解題方法:利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù),一般證明含一個中值的等式或根的存在,(3)若結(jié)論中涉及含中值的兩個不同函數(shù),可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.(2)證明不等式多用拉格朗日中值定理例證明不等式：當(dāng)時，公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).二、泰勒(Taylor)中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②則當(dāng)帶有佩亞諾(Peano)余項(xiàng)的n階泰勒公式.稱

7、為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以按以下步驟進(jìn)行：1）確定函數(shù)的定義域；2）求，找出和不存在的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義域分成若干區(qū)間；3）在各個區(qū)間上判別的符號，以此確定各區(qū)間上的單調(diào)性。的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為;極小值點(diǎn)為;極大值點(diǎn)為.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為;.在區(qū)間上是凸弧;拐點(diǎn)為提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.形在區(qū)間上是凹弧;則函數(shù)f(x)的圖(2)設(shè)函

8、數(shù)的圖形如圖所示,3.求函數(shù)的極值、最值：極值——函數(shù)在定義域內(nèi)部局部的最值極值點(diǎn)——定義域內(nèi)增、減區(qū)間的分界點(diǎn)求函數(shù)極值點(diǎn)的方法：（極值第一、第二判別法）二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.(極值第二判別法)判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個極值可疑點(diǎn)時,當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最