初高中銜接-數(shù)學專題四--二次函數(shù)

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1、專題四二次函數(shù)的性質(zhì)與三種表示方式【要點冋顧】1.函數(shù)圖象［1］一次函數(shù)：y=kx+b（k、〃是常數(shù)，舜0）稱y是兀的一次函數(shù)，特別的，當b=0時，稱y是兀的正比例函數(shù)。［2］正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，辱0）的圖象是的一?條直線，當I］寸，圖象過原點及第一、第三象限，y隨兀的增大而:當時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨兀的增大而?⑶一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx+b{k.方是常數(shù)，修0）的圖象是過點（0,b）且與直線歹=也平行的一條直線.設y=kx+b（m，貝0當時，y隨兀的增大而；當時，y隨兀的增大而.［4］反比

2、例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=-（^0）是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨兀的增大而；當時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨兀的增大而.雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x與）又是中心對稱圖形，對稱中心是原點.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)問題1函數(shù)y=ax^與y=/的圖象之間存在怎樣的關系?為了研究這一問題，我們可以先畫出加?的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函厶數(shù)的圖象之間的關系，推導出函數(shù)〉，=赤與的圖象之間所存在的關系.先畫出函數(shù)y=x2,y=2?的圖象.先列表：X???-3-2-10123?????

3、?9410149???2“???188202818從表屮不難看出，要得到2?的值，只要把相應的，的值擴大兩倍就可以了.圖2.2-1再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yy=2?的圖彖（如圖2—1所示），從圖2—1我們可以得到這兩個函數(shù)圖彖之間的關系：函數(shù)y=2“的圖象可以由函數(shù)y=?的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y=r的圖象之間的關系.通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)y=的圖象可以由y=/的圖彖各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膁倍得到.在二次函數(shù)y=ajc{a^中，

4、二次項系數(shù)d決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小.問題2函數(shù)y=a（x+h）2+k與y=ox2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系?同學們可以作出函數(shù)y=2（x+l）2+l與的圖彖（如圖2—2所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2/的圖彖先向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y=2（兀+1）2+1的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3（x~l）2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系.通過上

5、面的研究，我們可以得到以下結論:二次函數(shù)丿二必工+疔+殳（舜0）中,決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；方?jīng)Q定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且叫正左移，力負右移”；％決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且他正上移，*負下移”.由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+hx+c（a^）的圖象的方法：由于y=cvc2+bx+c=a(x1+—x)+c=a(x1+—x+^-^)+caa4crb2zb,h2-4ac圖222——=a（x+—）_+,4d2a4a所以，y=cvc2+bx+c^0）的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是

6、，二次函數(shù)加+c（舜0）具有下列性質(zhì)：（1）當“>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為（丄嚴」少）,對稱軸為直2a4a線x=—知當時，『隨著X的增大而減??；當如€時，，隨著兀的增大而增大；當兀函數(shù)取最小值尸窖（2）當aVO時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為（丄嚴—少）,對稱軸為直2a4ab；當xV-￡?時，y隨著x的增大而增大；當兀〉-當■時，y隨著兀的增大而減?。划敼?a2a=-當■時，函數(shù)取最大值丿=2a4ac-b24a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2?2-3和圖2?2—4直觀地表示出來.因此，在今后

7、解決二次函數(shù)問題時,利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題可以借助于函數(shù)圖像、例1求二次函數(shù)—3x2—6x+l圖彖的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當兀取何值時，y隨兀的增大而增大（或減?。?？例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間關系如下表所示：無/元130150165“件705035若FI銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？例3把二次函數(shù)y=疋+加的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，

8、得到函數(shù)的圖像，求4c的值.鞏固練習1、下列函數(shù)圖象屮，頂點不在坐標軸上的是()(A)y=2?(B)y=2x2-4x+2(C)y=2<—1(D)y=2x2—4x2、