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《17數(shù)列中存在性問題的研究(1)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。
1、專題：數(shù)列中存在性問題的研究（1）一、問題提出問題：,近,3不可能是一個等差數(shù)列中的三項.二、思考探究探究一：探究1.1設等差數(shù)列｝的前n項和為s”,且他+%=34,S3=9.（1）求數(shù)列⑺”）的通項公式及前?項和公式；（2）設數(shù)列｛仇｝的通項公式為化=七'問：是否存在正整數(shù)「使得如%b,nn（,n>3,//zeN）成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由.【解】（1）an-2n-1,Sn=n22n-1（2）bn=,要使得幾—成等差數(shù)列，貝q26=0+52n-l+tlfn312/n-1irn4即：2=1UP：m=3+3+t1
2、+/2m-l+tt-1Vm.tgN*,.??/只能取2,3,5當t=2時，m=7；當t=3時，in=5；當t=5時，加=4.【注】“存在”則等價于方程有解，木例利用整除性質解決.探究1.2設公差不為零的等差數(shù)列@”｝的各項均為整數(shù)，S”為其前77項和，口滿足疊二—弓，s7=7.（1）求數(shù)列仏”｝的通項公式；（2）試求所冇的正整數(shù)加，使得%當2為數(shù)列｛①｝中的項.【解】（1）因為｛%｝是等差數(shù)列，且57=7,而$7=7（"『）=7偽,于是a4=l.2分設何｝的公差為d,貝I」由竽得（1_轡異）=_號,化簡得山_27〃+9=0,即（d—3）（8〃
3、一3）=0,解得〃=3或〃導，O但若d=￡由勺=1知不滿足“數(shù)列匕｝的各項均為整數(shù)”，故d=3.5分O于是％=角+（〃一4）d=3〃一11.7分（2）因為5"皿=（僉+引（仏+6）=+9+11,%=3/?—11=35—4）+1,??????10分54“％所以要使5當2為數(shù)列｛%｝小的項，嚴必須是3的倍數(shù)，于是q”在±1,±2,±3,±6中取值,但由于?-1是3的倍數(shù)，所以匕”=1或仏=-2?由％=1得〃7=4；由匕”=一2得加=3.13分當山=4吋,f〃宀2=弩2=口當也=3吋,f吩2=12￡芻=弘?51'?-2'所以所求m的值為3和4?16
4、分o解
5、_^
6、y.a,”+14”+2_⑶"一8)(3n?-5)_(3加一11)~+9(3加一11)+18~7-~3m一11~3加一11=3m-2+183m-11=3m-2+2x3x33(/77-4)+1所以要使筆仏為數(shù)列仏｝屮的項，[必須是3的倍數(shù),于是3（加-4）+1只能取1或-2.（后略）探究1.3已知數(shù)列8｝中，。2=1，前料項和為必,且（1）求Qi；(3)設lgb“=（2）證明數(shù)列｛禺｝為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；，試問是否存在正整數(shù)”，gCH沖7、說叨理由.【解】(1)令“=1,則Qi=S]=2°=°?⑵由—灼吐，即S古②—①，得（“一1）%
8、=叫?于是,nan+2=(n+l)an+l.“+2③+④，得natl+2+nan=2nan+i,即aZJ+2+an=2a又dl=O,。2=1，。2一。1=1，所以，數(shù)列｛禺｝是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以，aH=n—1.（3）解法1：假設存在正整數(shù)數(shù)組?d使b—q成等比數(shù)列,則1凸，Ig如，lg如成等差數(shù)列,于是,“12時,"$+["）-爭=匚卩丁vO,故數(shù)列｛器｝（"'2）為遞減數(shù)列,淪3時,百+鋸）_（”芻）=守<0,故數(shù)列葉+護（空
9、3）為遞減數(shù)列,（器）皿=扌’（扌+翻nm=扌’即p=2,g=3時,器=*+寺又當心3時，=故無正幣數(shù)q使得糾”詈成立.解法2：同上有，*=*+￥〉*,且數(shù)列｛弓｝（p>2）為遞減數(shù)列，3JJj當P=2時,尋成立；當八3時，=因此，由#?〉*得，P=2，此時g=3【注】在利用“范圍”控制正整數(shù)的值時，常用求值域的方法：單調性.本例蘊含分類討論思想.探究二：探究2.1等差數(shù)列匕｝的前/?項和為S“，+近,53=9+3>/2?（1）求數(shù)列｛an]的通項a“與前兀項和Stl；￡（2）設氏呂gN）求證：數(shù)列也｝中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.n
10、[a〕=y[2+1,【解】（1）由已知得｛1廠，???6l=2,[3a]+3d=9+3yl2故an=2n一1+a/2,Sn=n（n+a/2）.(2)由(1)得仇=￡=〃+?.n假設數(shù)列他｝中存在三項bp,札，b「（0g,廠互不相等）成等比數(shù)列，則=bphr.即（9+V2）2=（p+V2）（r+V2）.（q?一pr）+（2q-p-r）V2=0Tp,q,reN*,=pr,(p-r)2=0,p=r._pr=0,[2q-p-r=Q,與pHr矛盾.所以數(shù)列｛bn｝中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.【注】在反證法屮利用有理數(shù)性質產(chǎn)生矛盾.探究2.2己知
11、數(shù)列｛?｝滿足：再二丄,"1+%）=2（1+色）,gm+]V0（/2、1）,數(shù)列也｝滿足：21-%1-%俵二d；+]—d；（“ni）?（1）求數(shù)列｛%｝,｛仇｝的通
