數(shù)列的存在性問題

《數(shù)列的存在性問題》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、.數(shù)列中的一類存在性問題執(zhí)教者：羅建宇（江蘇省張家港市暨陽高級中學(xué)）題組一1．設(shè)等差數(shù)列的前項和為且．（1）求數(shù)列的通項公式及前項和公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式為，問：是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）（2），要使得成等差數(shù)列，則即：即：∵，∴只能取2，3，5當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【注】“存在”則等價于方程有解，本例利用整除性質(zhì)解決．2．（09年江蘇卷17）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項．w.

2、w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因為，所以，即，又由得，解得，,所以的通項公式為，前n項和．(2)=，若其是中的項，則，令，則=,即：所以為8的約數(shù)．因為是奇數(shù)，所以可取的值為，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，（舍去）．所以滿足條件的正整數(shù)．word資料.【注】不僅可以利用整除性質(zhì)解決，也可利用奇偶性分析．3．（南通市2013屆高三期末）已知數(shù)列{an}中，a2=1，前n項和為Sn，且．（1）求a1；（2）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q(其中1

3、1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由．【解析】（1）令n=1，則a1=S1==0．（2）由，即，①得．②②－①，得．③于是，．④③+④，得，即．又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，數(shù)列{an}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以，an=n－1．（3）解法1：假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列，于是，．時，<0，故數(shù)列{}()為遞減數(shù)列，時，<0，故數(shù)列{}()為遞減數(shù)列，，，即時，又當(dāng)時，，故無正整數(shù)q使得成立．解

4、法2：同上有，，且數(shù)列{}()為遞減數(shù)列，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，因此，由得，，此時【注】在利用“范圍”控制正整數(shù)的值時，常用求值域的方法：單調(diào)性．本例蘊(yùn)含分類討論思想．題組二1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且．在數(shù)列中是否存在三項，使其成等差數(shù)列？說明理由．word資料.【解析】由知，數(shù)列是遞減數(shù)列，假設(shè)存在成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，即即而，，故矛盾．因此在數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列．【注】常用反證法說明不定方程正整數(shù)解不存在．2．（2010年湖北理）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項

5、不可能成等差數(shù)列．【解析】（1）由題意可知，令　，則　又，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，故，．（2）假設(shè)數(shù)列存在三項按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是有，則只有可能有成立，即即：由于，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．因此數(shù)列中任意三項不可能成等差數(shù)列．【注】此題為上例的補(bǔ)充，方法上有區(qū)別，在不便利用范圍尋找矛盾時，如何考慮式子的變形呢？首先考慮將分?jǐn)?shù)整數(shù)化，然后利用奇偶性尋找矛盾．word資料.3．（2007福建理22）等差數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列的通項與前項和；

6、（2）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．【解析】（1）由已知得，，故．（2）由（1）得．假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則．即．，．與矛盾．所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．【注】在反證法中利用有理數(shù)性質(zhì)產(chǎn)生矛盾．課堂小結(jié)數(shù)列中的一類存在性問題不定方程的正整數(shù)解問題存在有（正整數(shù)）解不存在無（正整數(shù)）解（1）整除性（2）奇偶性（3）范圍（1）范圍（2）奇偶性（3）有理數(shù)性質(zhì)課本溯源（選修2-2教材P84第9題）證明：1，，3不可能是一個等差數(shù)列中的三項．選編說明數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一，在高考中占

7、有重要的地位，其在歷年高考解答題中基本居壓軸題位置．江蘇省08、09年高考中數(shù)列解答題都考查了數(shù)列中一類存在性問題，此類問題一般轉(zhuǎn)化為求不定方程正整數(shù)解的問題，往往與數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識集于一體，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，在近年省內(nèi)各市模擬卷中常有出現(xiàn)．通過對數(shù)列中一類存在性問題的研究，讓學(xué)生加深對數(shù)列概念的理解，學(xué)會此類問題的常用處理策略，提升分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力．word資料.課后鞏固：1.（2011高淳高級中學(xué)19）公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．（1）求數(shù)列{an}的通項公式

8、an及其前n項和Sn；（2）記bn＝an－，若自然數(shù)滿足，并且成等比數(shù)列，其中，求（用k表示）；（3）記cn＝，試問：在數(shù)列{cn}中是否存在三項cr，cs，ct(r＜s＜t，r,s,t∈N*