多元函數(shù)(重修2011)

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1、7.1多元函數(shù)的概念7.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法7.4隱函數(shù)求導(dǎo)法7.5多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用7.6方向?qū)?shù)與梯度7.7多元函數(shù)的極值及其求法第7章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用1.鄰域7.1.1平面點集的有關(guān)概念7.1多元函數(shù)的概念2.n維空間(1)n維空間的記號為注：(2)n維空間中兩點間距離公式注：n維空間中鄰域概念特殊地當(dāng)n=1，2，3時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．鄰域：設(shè)兩點為類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．定義7.1.1設(shè)D是平面上的一個點集，則稱映射f:D?R為定義在D上的二元函數(shù)，7.1.2多元函數(shù)的概念1.二元函數(shù)的定義二元函

2、數(shù)的圖形通常是一張曲面.2.二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形7.1.3多元函數(shù)的極限定義7.1.21.定義注：（1）定義中P?P0的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．（4）二元以上的函數(shù)的極限可類似地定義。2．二元函數(shù)極限問題舉例例1求極限解其中例2證明分析：要證明二重極限不存在，可使P選擇不同的路徑而趨于P0，如有不同的極限，則二重極限不存在。證明：令P沿直線y=kx而趨于點P0(0,0),則有顯然，此極限值隨k的變化而變化,所以二重極限例2*.解：當(dāng)P沿直線y=kx而趨于(0，0)點時，當(dāng)P沿曲線y=kx

3、2而趨于(0，0)時,它是與k的取值有關(guān)的，所以二重極限確定極限不存在的方法：定義7.1.3注:(1)間斷點的判別與一元函數(shù)類似。(2)多元函數(shù)不僅有間斷點而且有間斷線。1.多元函數(shù)連續(xù)性的定義7.1.4多元函數(shù)的連續(xù)性(3)多元連續(xù)函數(shù)具有一元連續(xù)函數(shù)相同的性質(zhì)。例3討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例4討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．2.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在

4、D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．3.多元初等函數(shù)的連續(xù)性一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．例5解7.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念7.2.2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義7.2.3高階偏導(dǎo)數(shù)7.2.4全微分7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念1.偏導(dǎo)數(shù)的定義(1)f(x,y)在點P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)則稱此極限為函數(shù)在點處對

5、的偏導(dǎo)數(shù)，記為例如，極限(1)可以表示為（2）偏導(dǎo)函數(shù)(3)偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)注：解2．偏導(dǎo)數(shù)的計算仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某一個自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。證明原結(jié)論成立．例3解：例4解注:(1)求fx(x0，y0)時，可先將y0代入得最后再將x0代入.例5解注:(2)求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求按定義可知：3.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，7.2.2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高

6、階偏導(dǎo)數(shù).7.2.3高階偏導(dǎo)數(shù)解例6具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？證畢．例8證明函數(shù)其中滿足方程證明由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以因此證畢．7.2.4全微分1．增量、全增量及偏微分由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得叫做函數(shù)在點(x，y)對應(yīng)于自變量增量⊿x、⊿y的全增量。⊿z=f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)(1)2．全微分的定義事實上3.可微的必要條件4．偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件一元函數(shù)可微等價于可導(dǎo)。f(x，y)在點P0處偏導(dǎo)存在，但f(x，y)在點P0處不連續(xù)。所以f(x，y)在點P0處一定不可微。而多元函

7、數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出可微。5.函數(shù)可微的充分條件習(xí)慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)方法：6.全微分的計算（2）dz=fx(x，y)dx+fy(x，y)dy（iii）P0(x0,y0)處且dx，dy給定時的微分（1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判斷f(x,y)的可微性。(利用充分條件）幾類微分：(i)P(x,y)處的微分；（ii）P0(x0,y0)處的微分；例1.（1）計算z=x2y+y3的全微分；（2）計算z=x2y+y3在點(2，1)處的全微分；（3）計算z=x2y+y3在點(2，1)處相應(yīng)于⊿x=0.1，⊿y=－0.1時的全微分。

8、解(1)(2)(3)當(dāng)⊿