3.1.4-3.1.5空間向量的坐標運算

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1、3.1.4—3.1.5空間向量的坐標表示oxyz從空間某一個定點０引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系０－xyz．點Ｏ叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和Zox平面．空間直角坐標系的畫法:oxyz1.X軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半．有了空間直角坐標系，那空間中的任意一點Ａ怎樣來表示它的坐標呢？oxyzＡabc(a,b,c)經過A點作三個平面分

2、別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于三點，三點在相應的坐標軸上的坐標a,b,c組成的有序實數(shù)對（a,b,c)叫做點Ａ的坐標記為：Ａ（a,b,c)在空間直角坐標系中,x軸上的點、xoy坐標平面內的點的坐標各有什么特點？１．x軸上的點橫坐標就是與x軸交點的坐標，縱坐標和豎坐標都是０．２．xoy坐標平面內的點的豎坐標為０，橫坐標與縱坐標分別是點向兩軸作垂線交點的坐標．練習．如圖，已知長方體ABCD-A`B`C`D`的邊長為AB=12,AD=8,AA`=5.以這個長方體的頂點Ａ為坐標原點，射線AB,AD,AA`分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間

3、直角坐標系,求長方體各個頂點的坐標．xyzAOA`BB`CC`DD`單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且大小都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用來表示.因此我們可以類似平面直角坐標系,建立空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底以點O為原點，分別以的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系O—xyz.x軸、y軸、z軸，都叫做叫做坐標軸,點O叫做原點，向量都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面.xyzOkij對空間任一向量,由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組,使空間直角坐標系以建立空間

4、直角坐標系O—xyz若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)規(guī)定：（0，0，0）2.空間向量數(shù)量積的坐標表示：設空間兩個非零向量4.空間兩點間的距離公式已知　　　　　　、　　　　，則注：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。注意：（1）當　　　　　　時，　　　同向；（2）當　　　　　　時，　　　反向；（3）當　　　　　　時，　　　。思考：當　　　　　　及　　時，的夾角在什么范圍內？6.空間兩非零向量垂直的條件練習:已知求解:練習：2.求下列兩個向量的夾角的余弦：1.求下列兩點間的距離：例題

5、：例1已知　　　　、　　　　，求：（1）線段　　的中點坐標和長度；解：設　　　　　是　　的中點，則∴點　的坐標是.（2）到　　　兩點距離相等的點　　　　　的坐標　　　　滿足的條件。解：點　　　　到　　　的距離相等，則化簡整理，得即到　　　兩點距離相等的點的坐標　　　　滿足的條件是解：設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系　　　　，則例3如圖,在正方體　　　　　　　中，，求　　與　　所成的角的余弦值.A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE證明：設正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標

6、系D-xyz，則可得：所以BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz練習：xyz建立空間直角坐標系來解題。1.基本知識：（1）向量的長度公式與兩點間的距離公式；（2）兩個向量的夾角公式。2.思想方法：用向量計算或證明幾何問題時，可以先建立直角坐標系，然后把向量、點坐標化，借助向量的直角坐標運算法則進行計算或證明。