12 球坐標(biāo)系中的赫姆霍茲方程的解

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1、章節(jié)安排9.1直角坐標(biāo)系中赫姆霍茲方程的解9.2柱坐標(biāo)系中赫姆霍茲方程的解9.3球坐標(biāo)系中赫姆霍茲方程的解9.4推遲勢的直接積分法939.3球坐標(biāo)系中赫姆霍茲方程的解矢勢A的赫姆霍茲方程22?A+kA=0在球坐標(biāo)系中,赫姆霍茲方程為21?2?U1??U1?U2(r)+(sinθ)++kU=022222(9.3-1)r?r?rrsinθ?θ?θrsinθ??式中U表示A的一個直角分量,A、A和A,然后,利用A、A和A投影的方法xyzxyz求出A、A、A?。rθ利用分離變量法求解,將U(r,θ,?)寫成

2、三個函數(shù)的積U(r,θ,?)=R(r)Θ(θ)Φ(?)式中,R僅為r的函數(shù);僅為Θθ的函數(shù),Φ僅為?的函數(shù)。22將此式代入(9.3-1)式中并除以RΘΦ,乘以rsin(θ)22sinθd2?R222sinθd?Θ1?Φ(r)+krsinθ+(sinθ)=?2Rdr?rΘdθ?θΦ??上式等號左邊僅與r、有關(guān),等號右邊僅與?有關(guān),可以假設(shè)θ21dΦ2=?m2Φd?2sinθd2dRsinθddΘ2222}(r)+(sinθ)+krsinθ=mRdrdrΘdθdθ上述方程組的第一式的解為Φ(?)=Aco

3、sm?+Bsinm?用2除以上面方程的第二式得到用sinθ除以上面方程的第二式,得到21d2dR221ddΘm(r)+kr+(sinθ)?=02RdrdrΘsinθdθdθsinθ由于這個方程的前兩項僅與r有關(guān),而后兩項僅與θ有關(guān),所以假設(shè)1ddR22221ddΘm(r)+kr=β(sinθ)?=?β2RdrdrΘsinθdθdθsinθ上面方程的第二方程式是締合勒讓德方程,它的解為mmΘ(θ)=CP(cosθ)+DQ(cosθ)nn式中,C和D是任意常數(shù);β=n(n+1),n=0,1,2,???;

4、而m=0,1,2,???n.1d2dR22方程的第一式(r)+kr=βRdrdr可以寫成下列形式2dR2dR2n(n+1)++[k?]R=022drrdrr這是球貝塞爾方程,它的解為1(1)R(r)=[AJ(kr)+BH(kr)]n1n1krn+n+22(1)J(kr)H(kr)式中,n+1和1是半奇整數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù)。n+22球坐標(biāo)系中赫姆霍茲方程(9.3‐1)式的通解為∞n1(1)U(r,θ,?)=∑∑[AnJ1(kr)+BnH1(kr)](Acosm?+Bsinm?)kr

5、n+n+n=0m22mm?[CP(cosθ)+DQ(cosθ)]nn例題:均勻交變磁場中的球體h如圖9.3.1所示。沿z軸方向的均勻交變磁場?iωt中有一導(dǎo)電導(dǎo)磁球體He0,球的半徑是a,電導(dǎo)率是λ,磁導(dǎo)率是μ,球體周圍媒質(zhì)的電導(dǎo)率為λ,磁112導(dǎo)率為μ,求球內(nèi)外的磁場。2選用球坐標(biāo)系,以球心為原點(diǎn)。因?yàn)榧ぐl(fā)源是純磁性的,用赫茲矢量來計算磁場比較方便,這是因?yàn)椋篽2h*h*H=k′π+???πh*由于外磁場是均勻的,它的赫茲矢量的散π度為0,故用赫茲矢量將外磁場表示為:h2h*H=k′π00hhH*

6、0π=02k′hh***可見,外磁場的赫茲矢量π只有z分量,因而π也只有z分量π。0z*π滿足赫姆霍茲方程:z2*2*?π+k′π=0zz*π關(guān)于z軸是旋轉(zhuǎn)對稱的,與φ無關(guān),在球坐標(biāo)系中,滿足的赫姆霍茲方程為:z**1???2?πz??1????πz??2*r+sinθ+k′π=0r2?r??r?r2sin????z??θθ?θ?∞??*1()1它的通解為:πz=∑?AnJ1()k′r+BnH1()()k′r?Pncosθn=0k′rn+n+?22?(1)(′)Hkr這里J()k′r是半奇整數(shù)階第一

7、類貝塞爾函數(shù),n+1是半奇整數(shù)階第一類漢克爾1n+2函數(shù)。2*H(1)(k′r)在球內(nèi),由于r趨于0,有限,并且趨于無窮大,所以系數(shù)B必為0,π1nz1n+因而球內(nèi)的通解為:2∞*An?′?()πz1=∑J1?k1r?Pncosθ(9.3.3)n=0k′rn+??2在球外,同理,通解為:一次場∞BH*n?′?()0πz2=∑H1?k2r?Pncosθ+2(9349.3.4)n=0k′rn+??k2′2A和B是待定系數(shù),需利用磁場的邊值關(guān)系來確定。nnH由于0項只有零級的勒讓德多項式()cos=1,因

8、此,如果要滿足Pθ20k′2邊值關(guān)系,9.3.3和9.3.4式中的n必須限制在零級,即要求n>0時,A=B=0nn。這樣,球內(nèi)外的赫茲矢量為:A*=0J?k′r?πz11?1?k′r??12*=B0()1?′?H0πz2H1?k2r?+??2k2′r2k2′′2sinkr由于:J??k′r??=111??π′2kr1′ik2r()1?′?2eH?kr?=?i12??π′2kr2于是得到:′*sink1r(9.3.5)π=Az10r′ik2r(9.3.6)*eH0π=B

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