8-9 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的赫茲矢量 諧變電磁場勢的赫姆霍茲方程

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1、章節(jié)安排8.1電磁場的勢8.2均勻非導電媒質(zhì)中電磁場勢滿足的微分方程達朗伯方程8.3達朗伯方程的解推遲勢8.4推遲勢的偶極展開8.5電偶極輻射和磁偶極輻射868.6均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電磁場滿足的微分方程8.7均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的赫茲矢量8.8諧變電磁場勢的赫姆霍茲方程8.6均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電磁場勢滿足的微分方程1、磁場勢的微分方程2、電場勢的微分方程8.6均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電磁場勢滿足的微分方程在8.2中我們討論了均勻非導電媒質(zhì)中電磁場勢所滿足的微分方程式：22?A?A?εμ=?μj(8.2?3)2f?t?U??A+εμ=02?t2?Uρf?U?εμ=?(8.2?4)

2、2?tε這些方程中，j和ρf是已知量。但對于導電媒質(zhì)來說，由于它們都受電場的f影響，而不是已知量。所以用洛倫茲規(guī)范條件得到的上述達朗伯方程，實際上是無用的。因此在導電媒質(zhì)中需重新來討論電磁場勢滿足的微分方程。ddd由于j是由導電媒質(zhì)中電場本身作用所引起的，因此jf=λE已不是已知量，fd必須使得到勢所滿足的微分方程中不出現(xiàn)ρf或j。fdd為此將jf=λE代入麥克斯韋方程組的第一方程中，得到：hhh?E?×H=λE+ε?t1、磁場勢的微分方程ddd從??B=0出發(fā)，令B=?×A，將其代入麥克斯韋方程組的第程中第二方程組中，得到：h?h?A??×?E+?=0

3、????t?hh?A由于梯度的旋度恒為0，因此引入一標量勢，使：E+=???U?thh?AE=??U?（8.6-2）?t將B和E代入麥克斯韋方程組第一方程中得到：hhh??U?2A???A??×?×A=με?????+μλ???U???2?????t?t???t?hhh根據(jù)矢量分析公式：?×?×A=?(??A)??2Ahhhh?U?2A?A代入得到：()2???A??A=?με??με?μλ?U?μλ2?t?t?thhhh?U?2A?A()2???A??A=?με??με?μλ?U?μλ2?t?t?t將上式寫成：hh?h?U?h?A?2A2????A+μ

4、λU+με???A=?μλ?με2??t??t?t上面的A和U不是單值的，所以對A和U的值可以有任意的選擇性，為了使上式簡化，可以選擇A和U，使之滿足一個附加條件：?U??A+εμ=0h?U?t??A+με+μλU=0（8.6-3）?t也稱為洛倫茲條件。因此，得到矢量勢A滿足的微分方程：hhh?2A?A20（868.6-4）?A?με?μλ=02?t?t另外，將8.6-2代入麥克斯韋方程組的第四方程中，得到：h?h??E=????U???A=0?t將8.6-3代入上式得到標量勢滿足的微分方程：22?U?U?U?με?μλ=0（8.6-5）2?t?t2、電

5、場勢的微分方程h由??D=0顯然也可以引出一個矢量A*，使：hh*D=?×A（8.6-6）將它代入到麥克斯韋第一方程中，得到：hλ*?h*?×H=?×A+?×Aε?t?hλ*?h*??×?H?A?A?=0?ε?t?由于梯度的旋度恒為0，因此引入一標量勢U*hλ?h***H=A+A??U（8.6-7）ε?t將8.6-6和8.6-7代入麥克斯韋第二方程組中，得到：h*?×?×A??λ*?h**?=?μ?A+A??U?ε?t?ε?t?hhh**2*根據(jù)矢量分析公式：?×?×A=?(??A)??Ahhhh?A*?2A*?代入上式得到：()*2**???A??A=

6、?μλ?με+με?U2?t?t?thh?h?U*?h?A*?2A**2*????A?με?=?A?μλ?με??2??t??t?t上面引入的A*和U*不是單值的，所以A*和U*的值有任意的選擇性，為了使上式簡化，可以這樣選擇A*和U*，使?jié)M足如下附加條件：h?U**??A?με=0（8.6-8）?t稱為洛倫茲條件。于是，矢量勢A*滿足的微分方程：hhh?2A*?A*2*?A?με2?μλ=0（868.6-9）?t?t稱為矢量勢A*的傳播方程。hλ?h***將8.6-7式兩邊取散度：??H=??A+??A????U=0ε?t2*λ*?h*??U+??A+

7、??A=0ε?t將8.6-8式代入上式中，就得到U*滿足的微分方程：2*2*?U?U*?U?εμ?λμ=0（8.6-10)2?t?t稱為標量勢U*的傳播方程。8.6-4，8.6-5，8.6-9，8.6-10式是在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電磁場勢的兩組規(guī)范（A，U）和（A*，U*）在洛倫茲規(guī)范條件下滿足的微分方程，它的矢量勢與標量勢具有對稱的形式，方程中與時間一次導數(shù)有關的項是與導電媒質(zhì)的電導率λ有關的一消耗項，表示導電媒質(zhì)中勢的傳播是衰減的。習題838.3利用庫侖規(guī)范代替洛侖茲規(guī)范條件，推導電磁場勢A和U滿足的微分方程。ddd從??B=0出發(fā)，令B=?×A，將其代

8、入麥克斯韋方程組的第第程二方程組hh?B?A?h?A??×E=?=??×?×??